(完整word)经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案),推荐文档

《极坐标与参数方程》综合测试题答案

一．解答题（共16小题）

1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点P

?，且直线l与曲线C1交于A，B两点． 3（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （1,0），倾斜角为（2）求

+．

【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1． ∴曲线C1的直角坐标方程为∴曲线C表示焦点坐标为（﹣

=1， ，0），（

，0），长轴长为4的椭圆

=1中，得13t2?4t?12?0．

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程设A、B两点对应的参数分别为t1，t2， ∴

2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+

）=3

+

=210． 3（φ为参数），以O为极

，射线OM：θ=与圆C的交

点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． 【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程化为（x﹣1）2+y2=1，

∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．

为参数）

（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．

设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．

∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2． ∴|PQ|=2．

3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求圆C的参数方程；

（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6， 所以x2+y2=4x+4y﹣6， 所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，

即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…（4分） 所以所求的圆C的参数方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当

（θ为参数）．…（6分）

…（7分）

时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…（9分）x+y取到最大值为6．…

（10分）

4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=

．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l的参数方程为

AB2?3?（t为参数），P?,0?，当直线l与曲线C

?2?相交于A，B两点，求

PA?PB.

【解答】解：（1）∵ρ=

，∴ρ2sin2θ=6ρcosθ，

∴曲线C的直角坐标方程为y2=6x．曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线．

（2）直线l的参数方程可化为

，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0．

解得t1=﹣2，t2=6． ∴|

5．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立

|=|t1﹣t2|=8．

AB2PA?PB?2 3?x?3cos?极坐标系，曲线C1的参数方程为?，曲线C2的极坐标方程为(?为参数）

y?2sin??．

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标．

【解答】解：（1）由由

（2）设P（2点

P

消去参数α，得曲线C1的普通方程为得，曲线C2的直角坐标方程为

cosα，2sinα），则 到

曲

线

C2

的

距

离．

当

6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=

，点R（2

，

）．

时，d有最小值

，所以|PQ|的最小值为

．

为．

．

（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；

（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ， 则：曲线C的方程为ρ2=

，转化成

．

点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）． （Ⅱ）设P（

）

根据题意，得到Q（2，sinθ）， 则：|PQ|=所以：|PQ|+|QR|=当

，|QR|=2﹣sinθ，

．

时，（|PQ|+|QR|）min=2，

矩形的最小周长为4．

7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为

（φ为参数），

以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．

（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线θ=

（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．

（φ为参数），利用平方关

x+2y﹣5=0，可得极

【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为系消去φ可得：坐标方程：

+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．

曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x． （II）把直线θ=

（ρ∈R）代入

ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，

整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，