2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课时规范练50 抛物线

课时规范练50 抛物线

基础巩固组

1.(2018山东春季联考)已知抛物线x=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是( ) A.2 B.3 C.4 D.5

2.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4 x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4 ,则△POF的面积为 ( ) A.2 B.2 C.2 D.4

3.(2018云南昆明一中模拟,5)已知点F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,O为坐标原点,若以F为圆心,|FO|为半径的圆与直线 x-y+3=0相切,则抛物线C的方程为( ) A.x2=2y B.x2=4y C.x2=6y D.x2=8y

4.(2018广东江门一模,10)F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若

,则|PQ|=( ) =2 A.

5.(2018湖南郴州二中模拟,9)已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点,过

|=|2 线段AB的中点作x轴的垂线,交抛物线C于点Q.若|2 |,则p=( )

C. 2

B.4 C.

D.3

A.

6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( ) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2= x

7.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .

8.(2018黑龙江哈尔滨模拟(二),15)已知抛物线y2=4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B,设|AF|=m,|BF|=n,则m+n的最小值为 .

9.F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点B,若

,则 =4 = .

综合提升组

10.(2018北京昌平质检,6)已知点M(0, )及抛物线y2=4x上一动点N(x,y),则x+|MN|的最小值为 ( ) A. B.2 C.3 D.4 11.

D. B.

如图,已知抛物线的方程为x=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则∠MBN的大小等于( )

2

A.

B.

C.

D.

12.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A,B,且|AB|=2 ,则p的值为 .

13.(2018广东汕头冲刺,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F垂直于x轴的直线与抛物线C相交于A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线及直线AB所围成的三角形面积为4. (1)求抛物线C的方程;

(2)设M,N是抛物线C上异于原点O的两个动点,且满足kOM·kON=kOA·kOB,求△OMN面积的取值范围.

创新应用组

14.(2018安徽合肥一中冲刺,12)点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且|PA|=2|AB|,则称点P为“δ点”.下列结论中正确的是( ) A.直线l上的所有点都是“δ点” B.直线l上仅有有限个点是“δ点” C.直线l上的所有点都不是“δ点”

D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“δ点” 15.(2018福建莆田九中模拟,20)已知椭圆C1:

=1(a>b>0)和抛物线

C2:x2=2py(p>0),在C1,C2上

各取两个点,这四个点的坐标为(2,1),(- ,0),1, ,(-4,4). (1)求C1,C2的方程;

(2)设P是C2在第一象限上的点,C2在点P处的切线l与C1交于A,B两点,线段AB的中点为D,过原点O的直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点Q,证明:点Q在定直线上.

课时规范练50 抛物线

1.C 因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以 =7-5,所以|a|=8,

因此焦点F到准线l的距离是=4,故选C. 2.C 利用|PF|=xP+ =4 ,可得xP=3

∴yP=±2 S△POF= |OF|·|yP|=2 故选C.

3.B 由抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则焦点坐标F0, ,所以焦点F0, 到直线 x-y+3=0的距离为d=

-

,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y,故选B.

4.A 设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得 ,即 ,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|= ,所以|PQ|=|PF|+|QF|= 故选A.

5.B 联立抛物线x2=2py与直线y=2x+2的方程,消去y得x2-4px-4p=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则

|, =0,∴(x1-2p)(x2-Δ=16p2+16p>0,x1+x2=4p,x1x2=-4p,∴Q(2p,2p).∵|2 |=|2

2p)+(y1-2p)(y2-2p)=0,即(x1-2p)(x2-2p)+(2x1+2-2p)(2x2+2-2p)=0,∴5x1x2+(4-6p)(x1+x2)+8p2-8p+4=0,将x1+x2=4p,x1x2=-4p代入,得4p2+3p-1=0,得p=或p=-1(舍去).故选B. 6.C 如图,分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,

由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|. ∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|. ∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.

连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,

故抛物线方程为y2=3x.

7.2 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.

依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2. 8.4 由题意知,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,

当斜率k存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立,可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=2+ >2,x1x2=1,

由抛物线定义,得m=x1+1,n=x2+1?m+n=x1+x2+2>4, 当斜率k不存在时,m+n=4, 则m+n的最小值是4.

9 由题意,设点A的横坐标为m,过点A向准线作垂线交准线于点C,设准线与x轴的交点为D,

则由抛物线的定义,|FA|=m+ , 由△BAC∽△BFD,得

∴|FA|= ,|FB|=3,

则|KF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即p= ,

,∴m=

10.C 设抛物线的焦点为F(1,0),连接NF,由抛物线的定义可得|NF|=x+1.

=|FA||FB|=

∵|NF|+|NM|≥|MF|=4,当且仅当三点共线时等号成立, ∴x+|NM|≥3.

∴x+|MN|的最小值为3.

11.D 设直线PQ的方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),

- 由 得x2-2pkx+2p=0,

则x1+x2=2pk,x1x2=2p, kBP=

-

- -

kBP+kBQ=

- - =

- =

- ==0,

,kBQ=

-

,

即kBP+kBQ=0, 又kBP·kBQ=-3,

联立①②解得kBP= ,kBQ=- ,

所以∠BNM=,∠BMN=,

① ②

故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN= ,故选D. 12.4或8 抛物线y2=2px的焦点F

方程为(x+3)2+y2=4,则圆心E(-3,0),半径为2,假设抛物线的准线在圆心的右侧,

,0

,准线x=-,准线与x轴相交于点H.圆x2+y2+6x+5=0的标准

由|AB|=2 ,则A- ,则|AH|= ,|AE|=2,

∴|EH|=1,则|EH|+ =|OE|,

即1+ =3,则p=4.

设抛物线的准线在圆心的左侧,由|AB|=2 ,则A- , 则|AH|= ,|AE|=2,则|OE|+|EH|= , 即3+1= ,则p=8,∴p的值为4或8. 13.解 (1)由题意得A

由y= ,得

,p,B,-p y'=,

,

∴抛物线C在A处的切线斜率为1,

由抛物线C的对称性,知抛物线C在B处的切线斜率为-1,

∴抛物线在A处的切线方程为y-p=x- , 令y=0,得x=- ,

∴S= 2p·p=4,解得p=2. ∴抛物线C的方程为y2=4x.

(2)由已知可得kOA·kOB=-4,