高中数学必修4全一册课堂导学案（29份） 人教课标版10（精汇教案）

三角函数模型的简单应用

课堂导学

三点剖析

.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题

【例】 某港口的水深（米）是时间(≤≤,单位：小时）的函数，下面是水深数据： (时) (米) 根据上述数据描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数ω的图象.

()试根据以上数据，求出ω的表达式；

（）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略进出港所用的时间）？ 思路分析：（）从拟合曲线可知，函数ω中的，由时的函数值取的，时取得最大值，进而可求得ω、、的值，即得函数的表达式.

()根据（）中求得的函数表达式，求出数值不小于（米）的时段，从而就可回答题中的两问. 解:（）从拟合曲线可知：函数ω在一个周期内由最大变到最小需小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为小时，因此又∵当时，;当时，. ∴.

于是所求的函数表达式为

2??,ω

?. 6?. 6()由于船的吃水深度为米，船底与海底的距离不少于米，故在船舶航行时水深应大于等于（米）.

由拟合曲线可知，一天小时，水深变化两个周期，故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨点前进港，而从第二个周期中的下午点后离港.

??1≥，可得≥. 6625???∴π≤≤π (∈).

666令

∴≤≤(∈).

取，则≤≤；取，则≤≤.

而取时，则≤≤（不合题意）.

从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨点（点到点都可以）进港，而下午的点（即点到点之间）前离港，在港内停留的时间最长为小时. .从实际问题中抽象出三角函数模型

【例】 如右图，某大风车的半径为，每 旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动()后与地面的距离为(). ()求函数()的关系式； （）画出函数()的图象.

解：()如下图，以为原点，过点的圆的切线为轴，建立直角坐标系.

设点的坐标为（），则.

2?yθ. 22???又θ×,即θ，所以,

1266?(). 6?()函数的图象如下

6设∠1Aθ,则θ

温馨提示

呈现周期性变化规律的实际问题的解决往往与三角函数有关. 实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩，语言表达形式不同于常规训练的简单问题，因此在解决实际问题时要注意： （）自变量的变化范围.

（）数形结合，通过观察图形，获得本质认识. （）要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当数学模型.

.绝对值对周期函数的影响

【例】画出下列函数图象并观察其周期性. （）｜｜; （）｜｜.

思路分析：本题中含有｜｜，故应先对进行分类讨论去掉绝对值.根据绝对值的意义可知，≥的部分应是右半平面的部分，由于这几个函数都是偶函数，其图象应关于轴对称，于是可作出＜部分的图象. 解：()｜｜??sinxx?0,

?sin(?x)x?0.其图象如下图所示：

从图中可以看出｜｜不再是周期函数. ()｜｜??cosx?cosxx?0,x?0.

其图象如下图所示：

从图中可以看出｜｜仍是周期函数，其周期为π,而且｜｜的图象与的图象相同. 各个击破 类题演练

已知某海滨浴场的海浪高度（米）是时间（≤≤，单位小时）的函数，记作：().下表是某日各时的浪高数据： (时) (米) 经长期观测，()的曲线可近似地看成是函数ω. ()根据以上数据，求出函数ω的最小正周期、振幅及函数表达式；

（）依据规定，当海浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放，请根据（）的结论，判断一天内的上午时至晚上：时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解：（）由上表中数据，知周期. ∴ω

2?2??.

T126由,得.① 由,得.② ∴, ∴振幅为

11?，∴. 226()由题知，当＞时才可对冲浪者开放, ∴

1??＞,∴＞. 266∴π

???＜＜π, 262即＜＜.③

∵≤≤,故可令③中分别为得≤＜或＜＜或＜≤.

∴在规定时间上午至晚上：之间，有个小时时间可供冲浪者运动：上午：至下午：. 变式提升

(广东模拟)如下图某地夏天从—时用电量变化曲线近似满足函数（ωφ）.

()求这一天的最大用电量及最小用电量； （）写出这段曲线的函数解析式.

解：()最大用电量为万度，最小用电量为万度.

()观察图象可知，从—时的图象是（ωφ）的半个周期的图象.

11×()×(). 2212?∵?, 2??∴ω,

6?∴(φ).

6∴

将代入上式，解得φ∴所求解析式为 (

?, 6??)，∈［，］. 66类题演练

要在宽为米的教室当中装一盏电灯，电灯装在距离正中桌面的高是多少米时，才能使两边靠墙的课桌得到的亮度最大？（已知：电灯对课桌的照度示）.

Iα为电灯的光度，、α如右图所b2

解：由题设∵

Icos?3I及得αα要使靠墙的课桌得到最大亮度，即值最大. sin?9b2I是常数，且α的值使得（αα）与αα同时达到最大值， 9因（αα）α(α)