全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题七选修4系列第2讲不等式选讲练习(理科)

(1)若m，n∈R，不等式f(m)≥g(n)恒成立，求实数n的取值范围； (2)设a>0，b>0，且a＋b＝2，求证：a＋1＋b＋1≤2f?x?. 解 (1)由f(m)＝|m－1|＋|m＋1|≥|(m－1)－(m＋1)|＝2，

∴f(m)min＝2，∴n－2n－1≤2，∴－1≤n≤3，所以n的取值范围是[－1,3]． (2)证明：由(1)可知，2f?x?≥22，

∴(a＋1＋b＋1)＝a＋b＋2＋2?a＋1??b＋1?≤4＋(a＋1)＋(b＋1)＝8，∴a＋1＋

22

b＋1≤22，

当且仅当a＝b＝1时等号成立， ∴a＋1＋b＋1≤2f?x?.

3．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1. 111222

证明：(1)＋＋≤a＋b＋c；

abc3

(2)(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥24.

证明 (1)因为a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac，又abc＝1，故有a＋b＋c≥ab＋bc＋ca＝

2

2

2

2

2

2

2

2

2

33

ab＋bc＋ca111

＝＋＋.

abcabc当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立． 111222

所以＋＋≤a＋b＋c.

abc(2)因为a，b，c为正数且abc＝1， 故有(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)

3333≥3?a＋b??b＋c??c＋a?＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a) ≥3×(2ab)×(2bc)×(2ca)＝24. 当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立． 所以(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥24.

『金版押题』

4．已知函数f(x)＝|2x－3|－|x＋1|.

(1)若不等式f(x)≤a的解集是空集，求实数a的取值范围；

(2)若存在x0∈R，使得2f(x0)≤－t＋4|t|成立，求实数t的取值范围． 解 (1)f(x)＝|2x－3|－|x＋1|

2

3

3

3

3

3

3

?3?－3x＋2，－1

3

x－4，x≥，??2

5易得f(x)min＝－. 2

－x＋4，x≤－1，

2

y＝f(x)的图象如图所示，

∵不等式f(x)≤a的解集是空集， 5??∴a的取值范围为?－∞，－?. 2??

(2)?x0∈R，使得2f(x0)≤－t＋4|t|成立， 52

即2f(x)min≤－t＋4|t|，由(1)知f(x)min＝－，

2

∴t－4|t|－5≤0，解得－5≤t≤5，∴t的取值范围为[－5,5]．

配套作业

1．(2019·西安八校高三联考)已知a，b均为实数，且|3a＋4b|＝10. (1)求a＋b的最小值；

(2)若|x＋3|－|x－2|≤a＋b对任意的a，b∈R恒成立，求实数x的取值范围． 解 (1)因为10＝(3a＋4b)≤(3＋4)(a＋b)＝25(a＋b)，所以a＋b≥4，当且仅当3＝， 4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ab??即?8

b＝??5

a＝，65

??或?8

b＝－??5

a＝－，

6

5

2

2

时取等号，即a＋b的最小值为4.

22

(2)由(1)知|x＋3|－|x－2|≤a＋b对任意的a，b∈R恒成立?|x＋3|－|x－2|≤4?

??x<－3，?

?－5≤4?

??－3≤x<2，

或?

?2x＋1≤4?

??x≥2，

或?

?5≤4?

33

?x<－3或－3≤x≤?x≤，所以实数x的取值

22

3

范围为（－∞，].

2

2．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|. (1)当a＝3时，求不等式f(x)≥2的解集；

(2)若f(x)≥5－x对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 解 (1)当a＝3时，即求解|2x－3|＋|x－1|≥2， 3

①当x≥时，2x－3＋x－1≥2，∴x≥2；

2

3

②当1

22

③当x≤1时，3－2x＋1－x≥2，∴3x≤2，∴x≤.

3

???2

综上，解集为?x?x≤或x≥2

3???

??

?. ??

(2)f(x)≥5－x恒成立，即|2x－a|≥5－x－|x－1|恒成立，令g(x)＝5－x－|x－1|＝

??6－2x，x≥1，

?

?4，x<1，?

则函数图象如图．∴≥3，∴a≥6.

2

a

3．已知函数f(x)＝|x－5|－|x－2|.

(1)若?x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的范围； (2)求不等式x－8x＋15＋f(x)≤0的解集． 3，x≤2，??

解 (1)f(x)＝|x－5|－|x－2|＝?7－2x，2

??－3，x≥5，

2

其对应图象如图所示．易知

f(x)min＝－3，

∴m≥－3，即m的取值范围为[－3，＋∞)．

x－8x＋18，x≤2，??22

(2)x－8x＋15＋f(x)＝?x－10x＋22，2

??x2－8x＋12，x≥5，

①x≤2，x－8x＋18≤0，解集为?. ②2

222

2

综上所述，不等式的解集为{x|5－3≤x≤6}． 4．(1)解不等式：|2x－1|－|x|<1；

(2)设f(x)＝x－x＋1，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 解 (1)当x<0时，原不等式可化为－2x＋x<0， 解得x>0，所以x不存在；

1

当0≤x<时，原不等式可化为－2x－x<0，

21

解得x>0，所以0

2

1

当≤x时，原不等式可化为2x－1－x<1， 21

解得x<2，所以≤x<2.

2

综上，原不等式的解集为{x|0

(2)证明：因为|f(x)－f(a)|＝|x－x－a＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，

所以|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

5．(2019·益阳市高三4月模拟)已知f(x)＝|2x＋1|－|ax－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≤2的解集；

1

(2)当x∈(－，0)时，不等式f(x)>2x成立，求a的取值范围．

2解 (1)当a＝1时，

2

2

2