全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题七选修4系列第2讲不等式选讲练习(理科)

考向2 绝对值不等式的证明

例3 已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|－|x－b|. (1)当a＝1，b＝1时，解关于x的不等式f(x)>1； 11

(2)若函数f(x)的最大值为2，求证：＋≥2.

ab解 (1)当a＝1，b＝1时，

2，x≥1，??

f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝?2x，－1≤x<1，

??－2，x<－1，

①当x≥1时，f(x)＝2>1，不等式恒成立， 此时不等式的解集为{x|x≥1}；

1

②当－1≤x<1时，f(x)＝2x>1，所以x>，

2

???1

此时不等式的解集为?x?

???2

??

?； ??

③当x<－1时，f(x)＝－2>1，不等式不成立，此时无解．

???1

综上所述，不等式f(x)>1的解集为?x?x>

???2

??

?. ??

(2)证法一：由绝对值三角不等式可得

|x＋a|－|x－b|≤|a＋b|，a>0，b>0，∴a＋b＝2，

111?11?1?ba?∴＋＝(a＋b)?＋?＝?2＋＋?≥2， ab2?ab?2?ab?当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 证法二：∵a>0，b>0，∴－a<0

a＋b，x≥b，??

＝|x－(－a)|－|x－b|＝?2x＋a－b，－a≤x

??－?a＋b?，x<－a，

结合图象易得函数f(x)的最大值为a＋b，∴a＋b＝2.

111?11?1?ba?∴＋＝(a＋b)?＋?＝?2＋＋?≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．

ab2?ab?2?ab?

不等式证明的常用方法

(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法．

(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：

①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． ②利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明． ③转化为函数问题，利用数形结合进行证明．

(2019·延安市高考模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R. (1)解不等式f(x)<|x|＋1；

115(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)≤.

366解 (1)因为f(x)<|x|＋1，所以|2x－1|<|x|＋1， 1??x≥，

即?2??2x－1

1??0

2或???1－2x

??x≤0，

或?

?1－2x<－x＋1，?

11

解得≤x<2或0

22所以不等式的解集为{x|0

11(2)证明：因为|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，

36

115

所以f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|≤2×＋＝.

366考向3 柯西不等式的应用

例4 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证： (1)a＋b＋c≤ 3； 1113(2)＋＋≥. 3a＋13b＋13c＋12

证明 (1)由柯西不等式得(a＋b＋c)＝(1·a＋1·b＋1·c)≤(1＋1＋1)[(a)＋(b)＋(c)]＝3，当且仅当

2

2

2

2

2

2

2

2

1

a＝

1

b＝

1

1

，即a＝b＝c＝时等号成立，∴a＋

3cb＋c≤ 3.

(2)

证

法

一

：

∵

4

3a＋1

＋

(3a＋

1)≥2

4

·?3a＋1?3a＋1

＝

4?时取等号?4?当且仅当3a＋1＝?， 3a＋1??

∴

444

≥3－3a.同理得≥3－3b，≥3－3c， 3a＋13b＋13c＋1

?1＋1＋1?≥9－3(a＋b＋c)＝以上三式相加得，4??

?3a＋13b＋13c＋1?

1??6?当且仅当a＝b＝c＝时取等号?， 3??

∴

1113

＋＋≥. 3a＋13b＋13c＋12

证法二：由柯西不等式得

[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]?

?1＋1＋1?≥?3a＋1·1

??

?3a＋13b＋13c＋1??3a＋1

＋

3b＋1·

13b＋1

＋3c＋1·

1?2?

当且仅当a＝b＝c＝时取等号??， ?＝9?3??3c＋1?

1

又a＋b＋c＝1，∴6?∴

?1＋1＋1?≥9， ?

?3a＋13b＋13c＋1?

1113

＋＋≥. 3a＋13b＋13c＋12

柯西不等式的应用方法

(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．

11?222?1

(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a1＋a2＋…＋an)?2＋2＋…＋2?≥(1＋1＋…＋

?a1a2an?

1)＝n.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．

22

(2019·南通市高三下学期模拟)已知a，b，c均为正数，且a＋2b＋4c＝3，求＋

1

的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值． c＋1

解 因为a＋2b＋4c＝3，所以(a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)＝10，

因为a，b，c为正数，所以由柯西不等式得，[(a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)]·＋

12

≥(1＋2＋2)， c＋1

当且仅当(a＋1)＝2(b＋1)＝4(c＋1)等式成立， 所以所以

11111＋62＋＋≥， a＋1b＋1c＋11011111＋62

＋＋的最小值是， a＋1b＋1c＋110

2

2

2

11

＋a＋1b＋1

11＋

a＋1b＋1

23－102152－178－52

此时a＝，b＝，c＝.

777

真题

押题

『真题模拟』

1．(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函数f(x)＝|2x－1|＋2|x＋1|－a. (1)当a＝4时，求不等式f(x)>0的解集； (2)若函数f(x)的定义域为R，求a的取值范围． 解 (1)当a＝4时，f(x)＞0为|2x－1|＋2|x＋1|>4， 5

当x≤－1时，1－2x－2x－2>4?x<－；

41

当－14，无解；

213当x≥时，2x－1＋2x＋2>4?x>.

24

53

综上，f(x)>0的解集为（－∞，－）∪（，＋∞）.

44

(2)由题意得|2x－1|＋2|x＋1|>a恒成立，a<(|2x－1|＋2|x＋1|)min. |2x－1|＋2|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|(2x－1)－(2x＋2)|＝3，∴a<3. 2．(2019·赤峰市高三模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，g(x)＝x－2x－1.

2