全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题七选修4系列第2讲不等式选讲练习(理科)

第2讲 不等式选讲

「考情研析」 不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用．其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点．难度不大，分值10分，一般会出现在选考部分第二题的位置.

核心知识回顾

1.绝对值的三角不等式

01|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理1：如果a，b是实数，则□02|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，定理2：如果a，b，c是实数，那么□当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c(c>0)?01□－c≤ax＋b≤c. (2)|ax＋b|≥c(c>0)?02□ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想． (2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．

(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想． 4．证明不等式的基本方法

03分析法； (1)01□比较法；(2)02□综合法；(3)□(4)04□反证法；(5)05□放缩法． 5．二维形式的柯西不等式

222201(ac＋bd)2，当且仅当□02ad＝bc时，等若a，b，c，d都是实数，则(a＋b)(c＋d)≥□号成立．

热点考向探究

考向1 绝对值不等式的解法及应用 角度1 绝对值不等式的解法

例1 (2019·乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－a|，a∈R.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)

当x＜－1时，由f(x)＜0得－2(x＋1)＋(x－1)＜0，即－x－3＜0，得x＞－3，此时－3＜x＜－1，

当－1≤x≤1，由f(x)＜0得2(x＋1)＋(x－1)＜0， 11

即3x＋1＜0，得x＜－，此时－1≤x＜－，

33当x＞1时，由f(x)＜0得2(x＋1)－(x－1)＜0， 即x＋3＜0，得x＜－3，此时无解，

???1

综上，不等式的解集为?x?－3＜x＜－

3???

??

?. ??

(2)∵f(x)＜x?2|x＋2|－x＜|x－a|有解，等价于函数y＝2|x＋2|－x的图象上存在点在函数y＝|x－a|的图象下方，

由函数y＝2|x＋2|－x与函数y＝|x－a|的图象可知，a＞0或a＜－4.

解绝对值不等式的步骤和方法

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤 ①求零点．

②划区间、去绝对值号．③分别解去掉绝对值的不等式． ④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法求解不等式

用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，

又简洁直观，是一种较好的方法．

(3)用绝对值不等式的几何意义求解．

(1)解关于x的不等式x|x＋4|＋3<0；

(2)关于x的不等式|x|＋2|x－9|

解 (1)原不等式等价于???

x＋4<0，

??－x?x＋4?＋3<0

或

??

?x＋4≥0，?解得x<－2－7或－3

?x?x＋4?＋3<0，

所以原不等式的解集是(－∞，－2－7)∪(－3，－1)． (2)令f(x)＝|x|＋2|x－9|，则关于x的不等式 |x|＋2|x－9|f(x)min. ?3x－18，x≥9，f(x)＝?

?18－x，0≤x<9，

所以f(x)的最小值为9.

??18－3x，x<0，

所以a>9，即实数a的取值范围为(9，＋∞)． 角度2 绝对值不等式恒成立(或存在性)问题

例2 (2019·德阳市高三第二次诊断)已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋2|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≤－x的解集； (2)若f(x)≤a2

＋1恒成立，求a的取值范围． 解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|－|x＋2|， ?3，x≤－2，即f(x)＝?

?－2x－1，－2＜x＜1，

??－3，x≥1，

不等式f(x)≤－x即为???

x≤－2，

??3≤－x???

－2

??

－2x－1≤－x

或???

x≥1，

??

－3≤－x，

即有x≤－3或－1≤x＜1或1≤x≤3，得x≤－3或－1≤x≤3， 所以不等式的解集为{x|x≤－3或－1≤x≤3}． (2)因为|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|， 所以f(x)≤|a＋2|，

或

若f(x)≤a＋1恒成立，则|a＋2|≤a＋1，

??a≤－2，即?2

?－a－2≤a＋1?

22

??a>－2，

或?2

?a＋2≤a＋1，?

1－51＋5

解得a≤或a≥，

22

解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化

f(x)>a恒成立?f(x)min>a；f(x)a有解?f(x)max>a；f(x)a无解?f(x)max≤a；f(x)

(2019·宣城市高三第二次调研)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝2x＋1.

(1)解关于x的不等式g(x)≥|x－1|；

(2)如果对?x∈R，不等式|g(x)|－c≥|x－1|恒成立，求实数c的取值范围． 解 (1)由题意可得，g(x)＝2x－1， 所以g(x)≥|x－1|即2x－1≥|x－1|.

①当x≥1时，2x－1≥x－1，解得x≥0，所以x≥1； 22

②当x<1时，2x－1≥1－x，解得x≥，所以≤x<1.

33