数学苏教版选修2-1教案：3.1.3-4 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示 Word版含解析

空间向量的坐标 【问题导思】 空间直角坐标系中，点的坐标与向量坐标有何联系与区别？

【提示】 在空间直角坐标系中，当起点为原点时，向量坐标就是其终点坐标；当起点不是原点时，向量坐标是终点坐标减去起点坐标．所以向量坐标不是点的坐标，而是终点坐标与起点坐标的差值．

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在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则AB＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标．

空间向量的坐标运算 【问题导思】 空间向量的坐标运算与几何运算相比较，有哪些好处？

【提示】 坐标运算实际上是实数间的运算，运算起来更为简捷方便． 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)

向量的加法 向量的减法 数乘向量 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R

基底的判断 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，

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且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作→

为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由．

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【思路探究】 判断{OA，OB，OC}能否作为基底，关键是判断它们是否共面，一般假

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设其共面，利用共面向量定理分析；求OD的表示式，设OD＝pOA＋qOB＋zOC，利用待定系数法求系数．

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【自主解答】 假设OA、OB、OC共面，由向量共面的充要条件知存在实数x、y使OA→→

＝xOB＋yOC成立．

∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面， －3x＋y＝1，??

∴?x＋y＝2，??2x－y＝－1，

此方程组无解，

→→→即不存在实数x、y使OA＝xOB＋yOC， →→→

∴OA，OB，OC不共面．

→→→

故{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底． →→→→

设OD＝pOA＋qOB＋zOC，则有2e1－e2＋3e3

＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3

∵{e1，e2，e3}为空间的一个基底， p－3q＋z＝2，??

∴?2p＋q＋z＝－1，??－p＋2q－z＝3，

p＝17，

??

解之得?q＝－5，

??z＝－30，

→→→→

∴OD＝17OA－5OB－30OC.

1．判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．

2．求一向量在不同基底下的表示式(或坐标)，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式(或坐标)，转化为在原基底下的表示式，对比系数．

若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底． 【解】 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)成立，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.

∵{a，b，c}是空间的一个基底， ∴a，b，c不共面．