自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记

符号的是 条件概率

叫在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，叫条件概率 ，需要指出

仍是事件A的概率，但是它有条件，条件是以B已经发生为前提，或者

是以B已经发生为条件。

例1，某厂有200名职工，男、女各占一半，男职工中有10人是优秀职工，女职工中有20人是优秀职工，从中任选一名职工。

用A表示所选职工优秀，B表示所选职工是男职工。 求（1）P（A）；

【答疑编号：10010401针对该题提问】 （2）P（B）；

【答疑编号：10010402针对该题提问】 （3）P（AB）；

【答疑编号：10010403针对该题提问】 （4）

；

【答疑编号：10010404针对该题提问】 解：（1）

（2）

（3）AB表示所选职工既是优秀职工又是男职工 （4）

表示已知所选职工是男职工。在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是

优秀职工，这时n=100,r=10

由本例可以看出 事件A与事件

不是同一事件,所以它们的概率不同,即

事件AB表示所选职工既是男职工又是优秀

也不相同， 职

由本例还可看出, 事件AB与事件

工，这时基本事件总数n1=200，r=10。而事件 则表示已知所选职工是男职工，所以基本事件总数n2=100，r=10，所以由本例可以看出

本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：

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虽然P（AB）与不相同，但它们有关系，

显然有：若P（A）>0则有

将上面的结果改写为整式有

∴公式

叫概率的乘法公式。

例2，在10件产品中，有7件正品，3件次品，从中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求： （1）P（A）；

【答疑编号：10010405针对该题提问】 （2）

；

【答疑编号：10010406针对该题提问】 （3）P（AB）

【答疑编号：10010407针对该题提问】 解（1） （2）

∴（3）

例3，若P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求 【答疑编号：10010408针对该题提问】

=

解：

，求

。

例4，若P（A）=0.8，P（B）=0.4， 【答疑编号：10010409针对该题提问】 解：（1）

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∴（2）

例5，某人寿命为70岁的概率为0.8，寿命为80岁的概率为0.7，若该人现已70岁时，问他能活到80岁的概率是多少？

【答疑编号：10010410针对该题提问】

解：用A表示某人寿命为70岁，B表示某人寿命为80岁。 已知P（A）=0.8，P（B）=0.7 由于

因为

所以，已经活到70岁的人能活到80岁的概率为0.875 乘法公式可以推广为：

例6，袋中有三件正品，二件次品（√√√××）从中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率。 【答疑编号：10010411针对该题提问】 解：用A1表示第一次取到正品 A2表示第二次取到正品 A3表示第三次取到正品 则

用古典概型计算P（A1），这时n1=5，r1=3

，这时n2=4，r2=2

再用古典概型计算

再用古典概型计算

，这时n3=3，r3=2

（二）全概公式

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定义：若事件组（1）

互不相容

满足条件

（2）在一次试验中，事件组就说事件组

中至少发生一个，即

是样本空间Ω的一个划分。

例如事件组A与有所以事件组是样本空间的一个划分。

例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1表示该产品由甲厂生产，A2表示该产品由乙厂生产，A3表示该产品由丙厂生产，则事件组A1，A2，A3满足： （1） （2）

所以事件组A1，A2，A3是样本空间的一个划分。 下面介绍全概公式

设

是样本空间Ω的一个划分，B是一个事件，则有：

【答疑编号：10010412针对该题提问】 证：∵ 又∵ΩB=B

∵ ∴ ∴

用乘法公式上式可改写为

特别地（1）若

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互不相容

也互不相容

是Ω的一个划分，则有