数学分析教案（华东师大版）第二十一章重积分

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第二十一章 重积分

教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；3.了解n重积分的有关概念及计算方法。

教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。

教学时数：22学时

§ 1 二重积分概念

一. 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 .

定义 二重积分 .

例1 用定义计算二重积分 .用直线网

分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介

点 .

解

.

二. 可积条件 : D

. 大和与小和.

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Th 1 ,

.

Th 2 ,

,

在D上可积 .

.

Th 3 在D上连续 ,

Th 4 设

为

上的可积函数.

D, D ) . 若

在D上有界 , 且

( 或 在D \\

上连续 , 则

在D上可积 .

例2 P217ex2

三． 一般域上的二重积分：

1． 定义： 一般域上的二重积分.

2． 可求面积图形: 用特征函数定义.

四. 二重积分的性质 : 性质1

性质2 关于函数可加性 .

.

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性质3 和

可积 , 且

.

则

在D上可积

在

性质4 关于函数单调性 . 性质5

.

性质6 .

性质7 中值定理 .

Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线 (

)组成 ,

在D上连续 , 则

在D上可积 .

或

例3 去掉积分

中的绝对值 .

§ 2 二重积分的计算

二. 化二重积分为累次积分:

1. 矩形域

上的二重积分:

用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式.

2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9. 例1

,

.

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解法一 P221例3

解法二

为三角形, 三个顶点为

,

.

例2 , . P221例2.

例3 求底半径为

的两直交圆柱所围立体的体积 . P222例4.

§ 3 Green公式 . 曲线积分与路径无关性

一. Green公式:

闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P图21—10. 若以L记正向边界, 则用—L或L 表示反向（或称为负向）边界. 1. Green公式:

Th21.11 若函数P和Q在闭区域D 则有

R 上连续, 且有连续的一阶偏导数,

,