2017-2019三年高考真题文科数学试题分类汇编：专题18 坐标系与参数方程

专题18 坐标系与参数方程

?1?t2x?，?2?1?t1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数）．以

4t?y??1?t2?坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

2?cos??3?sin??11?0．

（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．

y2【答案】（1）x??1(x??1)；l的直角坐标方程为2x?3y?11?0；（2）7．

4221?t24t2?y??1?t?2?1，且x???????1，所以C的直角坐标方程为（1）因为?1?22?21?t2?2??1?t??1?t?22y2x??1(x??1)．

42l的直角坐标方程为2x?3y?11?0．

（2）由（1）可设C的参数方程为??x?cos?,（?为参数，?π???π）．

?y?2sin?π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3???C上的点到l的距离为．

77当???π?2π?时，4cos?????11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．

3?3?【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．

2．O为极点，【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．

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（1）当?0=

?

时，求?0及l的极坐标方程； 3

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）?0?23，l的极坐标方程为?cos?????????2； 3?（2）??4cos?,???,?．

42（1）因为M??0,?0?在C上，当?0?由已知得|OP|?|OA|cos????????时，?0?4sin?23． 33??2． 3设Q(?,?)为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ中，?cos?????????|OP|?2， 3?经检验，点P(2,)在曲线?cos????3??????2上． 3?所以，l的极坐标方程为?cos?????????2． 3?（2）设P(?,?)，在Rt△OAP中，|OP|?|OA|cos??4cos?, 即 ??4cos?． 因为P在线段OM上，且AP?OM，故?的取值范围是?,?．

42所以，P点轨迹的极坐标方程为??4cos?,???,?．

42【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,?????????????4??)，D(2,?)，4弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,?)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD．

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|??23，求P的极坐标．

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