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考点34 空间直角坐标系、空间向量及其运算
解答题
1.（2011·辽宁高考理科·Ｔ18）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ （II）求二面角Q-BP-C的余弦值．
1PD． 2
【思路点拨】建立空间坐标系，利用坐标向量来解题（I）
PQ?DQ???PQ?面DCQ
PQ?DC??面PQC?面DCQ；（II）先求法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值，最后确定二面角Q-BP-C的
余弦值．
【精讲精析】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，OP,DC为x，y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系D?xyz.
(Ⅰ)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，
则DQ?(1,1,0)，DC?(0,0,1)，PQ?(1,?1,0)，所以PQ?DQ?0，
PQ?DC?0，
即 PQ⊥DQ，PQ⊥DC.且DQDC?D故PQ⊥平面DCQ.又
PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
（II）依题意有B(1,0,1)，CB=(1,0,0)，BP=(?1,2,?1).
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?x?0,??n?CB?0,设n?(x,y,z)是平面PBC的法向量，则? 即?
??x?2y?z?0.??n?BP?0,同理，因此可取 n?(0,?1,?2).
??m?BP?0,设m是平面PBQ的法向量，则?
??m?PQ?0.可取m?(1,1,1),所以cosm,n??15.且由图形可知二面角Q?BP?C为钝角 515. 5故二面角Q?BP?C的余弦值为?2.（2011·江西高考理科·Ｔ21）（1）如图，对于任意给定 的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面
?1,?2,?3,?4，使得Ai??i(i?1,2,3,4),且其中每相邻两
个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面?1,?2,?3,?4， 其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体
A1A2A3A4的四个顶点满足： Ai??i(i?1,2,3,4), 求该
正四面体A1A2A3A4的体积 【思路点拨】（1）首先
取A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M,A2A4的中点N,过三点A2，P2，M作平面?2，过三点A3，P3，N作平面?3，则
平面?2//平面?3，
再过点A1，A4分别作平面?1，?4与平面?2平行,即得四个平面符合要求.（2）以第（1）问中的四面体作为正四
面体，通过坐标系求出面A3P3N的法向量n，再根据点到面的距离公式求出正四面体的棱长，进而求得体积. 【精讲精析】
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（）如图所示，取1A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M,A2A4的中点N,过三点A2，P2，M作平面?2，过三点A3，P3，N作平面?3，因为A2P2//NP3，A3P3//MP2，所以平面?2//平面?3，再过点A1，A4由线段A1A4被平行平面?1，?2，?3，?4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故?1，?2，?3，?4为所求平面.分别作平面?1，?4与平面?2平行，那么四个平面?1，?2，?3，?4依次相互平行，
(2)当（）中的四面体为正四面体时，若所得的四个平行平面，每相邻两平面1之间的距离为1，则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体，设正四面体的棱长为a,以?A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线0A1为z轴，由O点向直线A3A4作垂线，设垂线所在直线为x轴,建立如图所示坐标系，则A1(0,0，6aa3aa3a3a),A2(?,,0),A3(,,0),A4(0,?,0)326263令P2，P3为A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有P3(0，?23a6aa3aa53a6a,),N(?,?,0),所以P3N?(?,,?),9941243693a3a13a,,0),A4N?(?a,,0),设平面A3P3N的法向量为n?(x,y,z),有4444???n?P3N=0?9x?53y?46z?0，即?,所以n?（1，-3，-6），因为?3x?3y?0???n?NA3=0??1，?2，?3，?4相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N的距离为NA3?(a3a（-)?1??(?3)?0?(?6)441?(?3)?(?6)22?1,
解得a?10,由此可得边长为10的正四面体A1A2A3A4满足条件，113a26a2355所以所求正四面体的体积为V?Sh????a?.3343123
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3.（2011.天津高考理科.T17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，
H是正方形AA1B1B的中心，AA1=22，C1H?平面AA1B1B，
且C1H=5.
（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角A-A1C1-B1的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN?平面A1B1C，求线段BM的长． 【精讲精析】 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.
依题意得A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,?2,5) A1(22,22,0),B1(0,22,0),C1(2,2,5) （I）易得AC=(-2,-2,5),A1B1=(-22,0,0)， 于是cosAC,A1B1?AC?A1B142??,
3|AC|?|A1B1|3?222. 3 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为m?(x,y,z)， （II）易知AA1=(0,22,0),AC11=(-2,-2,5)，设平面AA1C1的法向量
??m?A1C1?0???2x?2y?5z?0, 则?即?不妨令x=5,可得m?(5,0,2)，
??22y?0.?m?AA1?0? 同样地，设平面A1B1C1的法向量n?(x,y,z)，
??n?A1C1?0,???2x?2y?5z?0, 则?即?不妨令y=5，
???22x?0.?n?A1B1?0.?
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