(新课标)2021版高考数学一轮总复习第五章平面向量、复数第28讲平面向量的数量积导学案新人教A版

第28讲 平面向量的数量积

【课程要求】

1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．

对应学生用书p78

【基础检测】

概念辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( ) (4)(a·b)c＝a(b·c)．( )

?π?(5)两个向量的夹角的范围是?0，?.( )

2??

(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×

教材改编

2．[必修4p105例4]已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________． [解析]∵2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. [答案]12

3．[必修4p106T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则向量b在向量a方向上的投影为________．

1

[解析]由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

a·b|b|cosθ＝＝－2.

|a|[答案]－2

易错提醒

→→

4．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为( )

A.

3231532315

B.C．－D．－ 2222

→→→→→→→[解析]由题意知AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，则AB在CD方向上的投影为|AB|·cos〈AB，CD〉→→

AB·CD32＝＝.

→2|CD|

[答案]A

→→→

5．已知△ABC的三边长均为1，且AB＝c，BC＝a，CA＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________． [解析]∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1， 1∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，

23

∴a·b＋b·c＋a·c＝－. 23

[答案]－

2

6．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，4)，如果向量a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是________．

[解析]a·b＝－m＋2×4＝8－m>0，且a≠λb(λ>0)， 解得m<8且m≠－2.

[答案] (－∞，－2)∪(－2，8) 【知识要点】 1．两向量的夹角

→→

已知非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角．

a与b的夹角的取值范围是__[0，π]__．

2