《小学数学疑难问题研究》

这是经过有限次操作就能执行完毕的程序。

【有限小数大小的比较】 多位数大小的比较法则可以推广，用于比较两个有限小数的大小。 （1）如果两个有限小数的整数部分不等，则整数部分较大的有限小数较大；

（2）如果两个有限小数的整数部分相等，则比十分位上的数。十分位上的数较大的有限小数较大；如果十分位上的数也相等，则比百分位上的数，百分位上的数较大的有限小数较大；??（以下类推）

（3）如果两个有限小数的整数部分相等，并且小数部分各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个有限小数相等。如下表：

不等——（1）

比整数部分 不等——（2）

相等，比十 不等——（2）

分位上的数 相等，比百 不等——（2） 分位上的数 相等…… 相等——（3）

【无限小数大小的比较】 多位数大小的比较法则推广到小数后，不适用于某些无限小数的大小比较。如根据循环小数化分数的法则：

?0.59?59?5?0.6 90?但运用上述有限小数的大小比较法则，则得如下错误结果：

0.59＜0.6

这就说明：有限小数的大小比较法则不适用于无限小数。

一般地说，为了比较两个循环小数的大小，可以按法则先把它们分别化为分数，再比较两个分数的大小。或者把它们化为循环节所在的数位相同的循环小数，再依次比较小数部分中不循环的部分和循环节中数的大小。

事实上，如果被比较的无限小数中，没有循环节是9的循环小数，则有限小数的大小比较法则对它们一般仍然适用。

??4554615386?，0.461538?? 例如，0.45?99119999991356566656??∵，，∴＜ 1111?131311?131113??或者，∵454545＜461538，∴0.45?0.454545＜0.461538

??????A1—29 分数的大小如何定义和判定？

【两个分数相等以及大小的定义】 两个正分数

pr与，当ps=rq时被认为是相等的。 sq如果

pr?，则由上述定义，ps≠rq。于是有ps＞rq，或者ps＜rq。 qsprpr＞；当ps＜rq时，就说＜。 ssqq当ps＞rq时，就说

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【两个分数相等以及大小的判定】 两个正分数

pr与 sq（1）如果ps=rq，则

pr?； qspr＞； sqpr＜。 sq（2）如果ps＞rq，则

（3）如果ps＜rq，则

【小学数学中比较分数大小的法则】

（1）分母相同时比分子。如果分子也相同则分数相等；如果分子不等则分子大的分数较大； （2）分子相同时比分母。如果分母也相同则分数相等；如果分母不等则分母大的分数较小； （3）分子与分母都不同时先通分，转化为同分母分数后再比较大小。 参考书：《大百科全书 数学卷》P634

A1—30 最小的分数单位是什么？最大的分数单位是什么？真分数有没有最小的？有没有最大的？

【自然数的单位和计数单位】 “1”是自然数的单位，任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。“1”也是自然数的最小的计数单位，因为一、十、百、千、万、??都是自然数的计数单位，其中最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。

【分数的单位】 分子是1的分数叫做分数单位。如数都是由若干个分数单位组成的。

分数单位是将自然数单位1平均分成若干份的结果。在所有的分数单位中，最大的是

111，，，??都是分数单位。任何一个分2341；但没有最2小的。设q是一个大于1的自然数，则没有最小的。

11就是一个分数单位。因为自然数q没有最大的，所以分数单位qq【最大的和最小的真分数】 分子小于分母的分数叫做真分数。在同分母的分数中，最小的只含一个分数单位的分数，即分数单位本身。所以最小的真分数就是最小的分数单位。因为分数单位没有最小的，所以真分数也没有最小的。

在分母同为q的真分数

pq?11?1?。所以，如果真分数中，p=1时最小，p=q－1时最大。因为qqq有最大的，则分数单位就必然有最小的，与已经证明的结论矛盾。

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第二节 数的运算 约数和倍数

A2—1 怎样定义四则运算？ 怎样得出四则运算中各部分间的关系？

【在自然数的基数理论中加法的定义】

设A、B分别表示以a、b为基数，且无公共元素的集合，C是A、B的并集，则C的基数c称为a、b的和，记为c=a+b。

a、b都叫“加数”。求两个数的和的运算称为加法，表示加法的符号“＋”叫做加号。

小数数学中借助具体情境向小学生暗示的加法的意义与基数理论中加法的定义是一致的。但说法不妥：“把两个数合并成一个数的运算叫做加法。”因为合并的是两个集合，而不是两个数。这里是用集合的运算“并”来定义自然数的运算“加法”。如果用数的“合并”来解释数的“加法”，那么数的合并又是什么意思呢？

【在递归算术中加法的定义】

设S表示求一个数的继数的运算。即S0=1，S1=2，S2=3，??。 则自然数的加法“＋”的意义可以用求继数的运算S定义如下：

a＋0=a ?①

a＋Sb=S（a＋b） ?②

例如，5＋3的意义可以这样理解：根据②

5＋3=5＋S2=S（5＋2） 5＋2=5＋S1=S（5＋1） 5＋1=5＋S0=S（5＋0）

根据①， 5＋0=5 所以， 5＋3=SSS5=8

即5＋3的和指的是5的继数的继数的继数。即在自然数列中，是从5往后数3个数所得出的8。 【减法的定义】

设a、b是两个自然数。如果有一个这样的自然数c，能使b＋c=a，就说c是a与b的差，记作a－b=c。其中a叫做被减数，b叫做减数，求两个数的差的运算叫做减法。表示减法的符号“－”叫做减号。

也可以这样说：已知两个数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做“减法”。在减法中，已知的和叫做“被减数”，已知的加数叫做“减数”，求出的未知的加数叫做“差”。

【乘法的定义】

b个相同加数a的和叫做a与b的积，记作a×b。即

a?a???a?a?b ???????b个求两个数的积的运算叫做乘法。在乘法算式a×b中，相同的加数a叫做被乘数，相同加数的个数b叫做乘数。被乘数与乘数都叫做积的因数。表示乘法的符号“×”叫做乘号。

以上定义中的乘数b是大于或等于2的自然数。关于乘数是0或1的乘法的意义，另行补充规定如下：

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a×1=a，a×0=0。

【在递归算术中乘法的定义】 在递归算术中，乘法和加法一样，也是作为一个递归函数来定义的。定义加法，只用了求继数的运算S，而定义乘法，要同时用加法和求继数的运算S：

a×0=0

a×S b=a×b＋a

所谓“递归函数”，是数论函数的一种，是以自然数集为定义域和值域的函数。

【除法的定义】 设a、b是两个自然数，b≠0。如果有一个这样的自然数c，能使b×c=a，就说c是a与b的商，记作a÷b=c。其中a叫做被除数，b叫做除数。求两个数的商的运算叫做除法。表示除法的符号“÷”叫做除号。

在小学数学里，一般把“除法”定义为“已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。”在除法中，已知的积叫做“被除数”，已知的因数叫做“除数”，求出的未知的因数，作为除法运算的结果，叫做“商”。

【加、减法各部分间的关系】

根据减法的定义，可以推出加、减法中各部分之间的关系： （1）两个数相加，每一个加数都等于和减去另一个加数； （2）被减数等于减数加差； （3）减数等于被减数减去差。

下图中每一个推理的根据都是减法的定义。

加数 + 加数 = 和 ? 和 － 一个加数 = 另一个加数

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减数 + 差 =被减数

被减数 － 差 = 减数

图1-6

【乘、除法各部分间的关系】 同理，根据除法的定义，可以推出乘、除法中各部分之间的关系： （1）两个数相乘，每一个因数都等于积除以另一个因数； （2）被除数等于除数乘商；

（3）除数等于被除数除以商。如图1-7所示。

因数 × 因数 = 积 ? 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数

┆ ┆ ┆

除数 × 商 =被除数

被除数 ÷ 商 = 除数

图1-7

被除数 ÷ 除数 = 商 被减数 － 减数 = 差

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