2018届中考数学复习专题三圆的证明与计算试题（含答案）

专题三 圆的证明与计算

类型一 切线的判定

判定某直线是圆的切线，首先看是否有圆的半径过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．

(2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD， (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；

(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．

【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理求AC的长；(2)连接OC，利用AC是∠DAB的平分线，证得∠OAC＝∠CAD，再结合半径相等，可得OC∥AD，进而结论得证．

1．(2016·六盘水)如图，在⊙O中，AB为直径，D，E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E＋∠C＝90°. (1)求证：BC为⊙O的切线；

3

(2)若sin A＝，BC＝6，求⊙O的半径．

5

︵

2．(2017·济宁)如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是BC的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E.

(1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求AE的长．

类型二 切线的性质

已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．

(2016·资阳)如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.

(1)求证：∠A＝∠BDC；

(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．

【分析】 (1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．

3．(2016·南平)如图，PA，PB是⊙O切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于点D. (1)求证：OC＝AD；

(2)若∠P＝50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长(精确到0.1，参考数据sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)．

︵︵

4．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE. (1)求证：OA＝OB；

(2)已知AB＝43，OA＝4，求阴影部分的面积．

类型三 圆与相似的综合

圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定及性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．

(2016·荆门)如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E.

(1)求证：CE是⊙O的切线；

(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．

【分析】 (1)连接CO，证得∠OCA＝∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE即可；(2)连接BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可求得半径．

5．(2017·德州)如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．

6．(2017·黄冈)如图，已知MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN.

求证：(1)DE是⊙O的切线；

2

(2)ME＝MD·MN.

7．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.

(1)求证：∠BDC＝∠A；

(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．

参考答案

【例1】 (1)∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝AB－BC＝4. (2)如图，连接OC，

22

∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠CAD.

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AD.

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.

∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线． 【变式训练】

︵

1．(1)证明：∵∠A与∠E所对的弧都是BD， ∴∠A＝∠E.

∵∠E＋∠C＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，

∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°.即AB⊥BC. ∵AB是直径，∴BC为⊙O的切线．

BC3

(2)解：∵sin A＝＝，BC＝6，∴AC＝10.

AC5在Rt△ABC中，AB＝AC－BC＝8，

1

∴AO＝AB＝4，即⊙O的半径是4.

2

︵︵︵

2．(1)证明：如图，连接OD.∵D是BC的中点，∴BD＝DC， ∴∠BOD＝∠BAE，∴OD∥AE.

∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O 的切线．

(2)解：如图，过点O作OF⊥AC于点F.

2

2