2018-2019学年北京市丰台区高三(上)期末数学试题和答案(理科)

此时z最大， 由

解得A（1，0），

此时zmax＝1﹣2×0＝1． 故答案为：1．

13．【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t＝0时cosα＝，即α＝

，每秒钟旋转

，在t∈[0，6]上时α∈[

，π]，

∴sinα∈[﹣，1]，

即动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的值域为[﹣，1]， 故答案为：[﹣，1]．

14．【解答】解：①若a＝0，则f（x）＝，

由f（x）＝0，可得x＝0或，可得f（x）的零点有两个； ②函数

，

y＝3x﹣x3

，y′＝3﹣3x2

，令y′＝0，可得x＝±1

函数的极小值点x＝﹣1，极小值为﹣2；极大值点为x＝1，极大值为2． 函数的图象如图：

使得函数y＝f（x）+m有三个零点，

a＜﹣1时y＝3x﹣x3

，与y＝﹣m有3个交点，

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a∈（﹣1，0）时，y＝3x﹣x，与y＝﹣m有2个交点，y＝2x与y＝﹣m可以有一个交点， 3

综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．【解答】（本题满分为13分） 解：（Ⅰ）在△ABCD中，因为a＝3，

，，

由余弦定理b2

＝a2

+c2

﹣2accosB，………．（2分） 可得c2

﹣2c﹣3＝0，………．（4分）

所以c＝3，或c＝﹣1（舍）． …………．（6分）（Ⅱ）因为，

所以

．

所以△ABC的面积．…………．（13分）

16．【解答】（共14分）

证明：（Ⅰ）因为PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD， 所以PA⊥CD，

正方形ABCD中，AD⊥CD，

又因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，

因为AQ?平面PAD，所以AQ⊥CD．……………．（4分） 解：（Ⅱ）正方形ABCD中，AB⊥AD，侧棱PA⊥底面ABCD． 如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB＝2．

依题意，则A（0，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），Q（0，1，1）， 所以

＝（﹣2，﹣2，2），

＝（2，2，0），

＝（0，1，1）．

设平面ACQ的法向量＝（x，y，z），

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则，令x＝1，得＝（1，﹣1，1），

所以cos＜，＞＝＝，

所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为．………（11分） （Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面PAD，所以＝（2，0，0）为平面PAD的法向量， 因为cos＜

＞＝

＝

，且二面角C﹣AQ﹣D为锐角，

所以二面角C﹣AQ﹣D的余弦值为． ………（14分）

17．【解答】解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450＝3600家， 其中备受关注的智能及高端装备企业共400×25%＝100家，

设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A， 所以P（A）＝

＝

；………………（4分）

（Ⅱ）消费电子及家电备受关注的企业有60×20%＝12（家）， 医疗器械及医药保健备受关注的企业有300×8%＝24（家），共36家． ∴X的可能取值为0，1，2； 计算P（X＝0）＝

＝

，

P（X＝1）＝＝，

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P（X＝2）＝＝；

所以随机变量X的分布列为：

P 0 1 2 X ……（11分）

（Ⅲ）计算E（X），结合题意知E（X）＞E（Y）． …………（13分）18．【解答】（共14分）

解：（Ⅰ）由题意得解得，

所以椭圆C的方程为………（5分），

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠1且x2≠1）．

由得（4k2

+3）x2

﹣32k2

x+64k2

﹣12＝0，

依题意△＝（﹣32k2）2﹣4?（4k2+3）（?

64k2

﹣12）＞0，即．则………（8分）

因为

＝

＝

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