第三章 第5课时 勾股定理 小结与思考

第5课时 勾股定理 小结与思考

预习目标

1．体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题． 2．会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形．

知识梳理

例题精讲

例1 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6， DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交BC于点E，连接AE，则 △ACE的周长为 ( ) A．16 B．15 C．14 D．13

提示：先根据所给条件求出特殊三角形的三边长，再根据线段垂直平分线的性质将已求的线段转化到须求的三角形中．在Rt△ABC中，根据∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，可求得BC＝10．再由DE是AB边的垂直平分线，可知AE＝BE．所以△ACE的周长为AC＋CE＋EA＝AC＋CE＋BE＝AC＋BC＝16． 解答：A．

点评：本题考查了勾股定理和线段的垂直平分线的性质，求解这类题目的关键是根据已知条件寻求条件之间的关系．

例2 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、 E，F为BC的中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE＝∠CBE．求证： (1)BH＝CA．

(2)BG2－GE2＝EA2．

提示：(1)根据三角形的内角和定理求出∠BCD＝∠ABC，∠ABE＝

∠DCA，推出DB＝CD，根据“ASA”证出△DBH≌△DCA即可．(2)连接CG， 根据DB＝DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG＝CG，根据

BE⊥AC和∠ABE＝∠CBE，得出AE＝CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可证得结论．

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点评：本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质的应用，同时也考查了同学们综合运用定理进行推理的能力，

例3 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6m、8 m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边长的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的面积．

提示：本题没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，发现符合题意的图形有三种，即本题实际上应分三种情况讨论．

点评：对于无图的几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路．在运用勾股定理时，若已知两边长，则可直接求出第三边长；若只知一边长，则往往先设未知数，再利用列方程求解．

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热身练习

1．下列各组数为勾股数的是 ( )

A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7. 5，8.5 D．8，15，16

2．平地上有一架靠墙的梯子，梯子底端离墙5m，梯子顶端离地面12 m，则梯子的长度为 ( )

A．12m B．13m C．14m D．15 m

3．直角三角形两直角边的长分别为6 cm和8 cm，则连接这两条直角边中点的线段长为( )

A．10 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm

4．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的 ( ) A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 5．下列说法中，不正确的是 ( )

A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形 B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形 C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形 D．三边长度之比为9：40：41的三角形是直角三角形

6．三角形的三边长满足关系(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是 ( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形

7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边长为5，则另一条直角边长为 ( ) A．3 B．4 C．12 D．13

8．若三角形的三边长满足a2＝b2＋c2，则这个三角形是_______三角形，它的最长边是_______．

9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝24，CA＝7，AB＝_______．

10．在△ABC中，若三条边的长度分别为9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是_______．

11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，正方形A、B、C的面积分别是8 cm2、10 cm2、14 cm2，则正方形D的面积是_______cm2．

12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60 cm，CA＝80 cm，一只蜗牛从点C出发，以每分钟20 cm的速度沿CA→AB→BC的路径爬行了一周，用了_______分钟． 13．已知x、y为正数，且x2?4??y2?16?，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角

2形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为_______．

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14．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端至多放在距离墙_______米处．

15．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为_______厘米．

16．如图，一个机器人从点A出发，拐了几个直角弯后到达点B，根据图中的数据，点A和点B的距离是_______．

17．一个三角形三条边长的比为5：12：13，且周长为60 cm，求它的面积．

18．如图，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB＝60 m，BC＝84 m，AE＝100 m，则这条小路的面积是多少？

19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝25，点D在BC上，AD＝24，BD＝7． AD平分∠BAC吗？请说明理由．

20．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，如图是由弦图变化得到的图形，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1＋S2＋S3＝10，求S2的值．

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参考答案

1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．直角 a 9．25 10．108 11．17 12．12 13．20 14．0.7 15．2 16． 10 17．120 cm2 18．240m2 19．AD平分∠BAC，理由略 20．

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