一元二次方程根与系数的关系习题123

一元二次方程根与系数的关系习题

一、单项选择题：

1．关于x的方程ax2?2x?1?0中，如果a?0，那么根的情况是（ ）

（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定 2．设x1,x2是方程2x2?6x?3?0的两根，则x1?x2的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）

（A） 2y+5=6y（B）x+5=25 x（C）3 x－2 x+2=0（D）3x－26 x+1=0

2

4．以方程x＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）

2222

（A） y+5y－6=0 （B）y+5y＋6=0 （C）y－5y＋6=0 （D）y－5y－6=0

5．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x1?2x1?1，x2?2x2?1，那么x1?x2等于（ ） （A）2 （B）－2 （C） 1 （D）－1 二、填空题：

221、如果一元二次方程x?4x?k?0有两个相等的实数根，那么k＝______。

2

2

2

2

22222、如果关于x的方程2x?(4k?1)x?2k?1?0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______。

23、已知x1，x2是方程2x2?7x?4?0的两根，则x1?x2＝_____，x1x2＝_____，(x1?x2)＝______

224、若关于x的方程(m?2)x?(m?2)x?1?0的两个根互为倒数，则m=______。

25、当m＝_____时，方程x?mx?4?0有两个相等的实数根；

226、已知关于x的方程10x?(m?3)x?m?7?0，若有一个根为0，则m=___，这时方程的另一个根是__；3

若两根之和为－ ，则m=_____，这时方程的 两个根为_________.

57、如果x?2(m?1)x?m?5是一个完全平方式，则m=______； 8、方程2x(mx?4)?x?6没有实数根，则最小的整数m=______; 9、已知方程2(x?1)(x?3m)?x(m?4)两根的和与两根的积相等，则m=_____;

210、设关于x的方程x?6x?k?0的两根是m和n，且3m?2n?20，则k值为______; 222211、若方程x?(2m?1)x?m?1?0有实数根，则m的取值范围是_______;

12、一元二次方程x?px?q?0两个根分别是2?3和2?3，则p=____,q=_____; 213、已知方程3x?19x?m?0的一个根是1，那么它的另一个根是_____，m=_____; 222214、若方程x?mx?1?0的两个实数根互为相反数，那么m的值是______; 1

15、m、n是关于x 的方程x2?(2m?1)x?m2?1?0的两个实数根，则代数式mn=______。 16、已知方程x2?3x?1?0的两个根为α,β，则α+β=_____, αβ=_______; 17、如果关于x的方程x2?4x?m?0与x2?x?2m?0有一个根相同，则m的值为_______; 1

18、已知方程2x2?3x?k?0的两根之差为2 ，则k=_______;

219、若方程x2?(a2?2)x?3?0的两根是1和－3，则a=______; 20、①、若关于x的方程x2?2(m?1)x?4m2?0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为_____; ②、已知关于x的一元二次方程(a2?1)x2?(a?1)x?1?0两根互为倒数，则a=_______。

21、如果关于x的一元二次方程x?2x?a?0的一个根是1－2，那么另一个根是_____，a的值为____。

222、如果关于x的方程x?6x?k?0的两根差为2，那么k=_____。

2223、已知方程2x?mx?4?0两根的绝对值相等，则m=________。

24、一元二次方程px?qx?r?0(p?0)的两根为0和－1，则q∶p=______。 25、已知方程3x2?x?1?0，要使方程两根的平方和为

213，那么常数项应改为_______。 9226、已知方程x?4x?2m?0的一个根α比另一个根β小4，则α=______；β=_____；m=_____。

27、已知关于x的方程x?3mx?2(m?1)?0的两根为x1，x2，且三、解答下列各题：

2113???，则m=_______。 x1x2421、已知3－2 是方程x?mx?7?0的一个根，求另一个根及m的值。

2、m取什么值时，方程2x?(4m?1)x?2m?1?0 3、求证：方程(m?1)x?2mx?(m?4)?0没有实数根。

4、求证：不论k为何实数，关于x的式子(x?1)(x?2)?k都可以分解成两个一次因式的积。 5、当k取什么实数时，二次三项式2x?(4k?1)x?2k?1可因式分解. 6、已知a

2是实数，且方程x?2ax?1?0有两个不相等的实根，试判别方程

222222221x2?2ax?1?(a2x2?a2?1)?0有无实根？

2227、已知关于x的方程mx?nx?2?0两根相等，方程x?4mx?3n?0的一个根是另一个根的3倍。求证：

2

方程x2?(k?n)x?(k?m)?0一定有实数根。

8、已知方程2x2?5mx?3n?0的两根之比为2∶3，方程x2?2nx?8m?0的两根相等(mn≠0)。求证：对任意实数k，方程mx2?(n?k?1)x?k?1?0恒有实数根。

9、设x1，x2是方程2x2?4x?3?0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：

xx11(1)、(x1?1)(x2?1) (2)、? (3)、2?1 (4)、x12?x1x2?2x1

x1x2x1x210、设方程4x2?7x?3?0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值:

211、已知x1，x2是方程2x?3x?1?0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1) (2x1?3)(2x2?3)； (2)x1x2?x1x2

12、实数ｓ、ｔ分别满足方程19s2?99s?1?0和且19?99t?t2?0求代数式

224413、设：3a?6a?11?0，3b?6b?11?0且a≠b，求a?b的值。

33st?4s?1的值。 t2214、已知a?1?a，b?1?b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。

15、已知m2?m?4?0，

1111??4?0m?m?，m，n为实数，且，求代数式的值 n2nnn2216、已知2s?4s?7?0，7t?4t?2?0，s，t为实数，且st≠1。求下列各式的值：

17、已知关于x的方程x－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;

18、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17

2222

19、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a+b+c)x+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形

20、已知关于x的方程x?(2a?1)x?4(a?1)?0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

21、关于x的一元二次方程3x?(4m?1)x?m(m?2)?0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。

2222

x1322kx?，如果存22、是否存在实数，使关于的方程9x?(4k?7)x?6k?0的两个实根x1，x2，满足

x22在，试求出所有满足条件的k的值，如果不存在，请说明理由。

223、已知关于x的方程2x?(m?1)x?m?1?0的两根满足关系式x1?x2?1，求m的值及两个根。 2224、α、β是关于x的方程4x?4mx?m?4m?0的两个实根，并且满足(??1)(??1)?2，求m的值。

3

25、已知一元二次方程8x2?(2m?1)x?m?0，根据下列条件，分别求出m的值：

(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；(5)两根的平方和为

1。 6426、已知方程x2?mx?4?0和x2?(m?2)x?16?0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。 27、已知关于x的二次方程x2?2(a?2)x?a2?5?0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。

28、已知方程x2?bx?c?0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。 29、已知一元二次方程(2k?3)x2?4kx?2k?5?0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。

2，x2?1是关于x的方程x2?qx?p?0的两30、已知x1，x2是关于x的方程x?px?q?0的两根，x1?1根，求常数p、q的值。

231、已知x1，x2是关于x的方程x2?m2x?n?0的两个实数根；y1，y2是关于y的方程y?5my?7?0的

两个实数根，且x1?y1?2，x2?y2?2，求m、n的值。

232、关于x的方程x?2mx?12n?0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。 4(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；

(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

33、在解方程x?px?q?0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?

234、已知方程x?ax?b?0的两根为x1，x2，且4x1?x2?0，又知根的判别式?=25，求a，b 的值。

235、已知

x1，x2是一元二次方程x2?mx?n?0的两个实数根，且

2222x1?x2?(x1?x2)2?3，2?2?5 ，求m和n的值。

x1x2 4