高考数学大一轮复习 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式教师用书 理 苏教版

ππβπ则<－<， 4422πβ6则sin(－)＝.

423

β1322653

故cos(α＋)＝×＋×＝.

233339

思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．

ππ1

(1)若α∈(，π)，tan(α＋)＝，则247

sin α＝ .

1＋cos 20°1

(2)计算：－sin 10°(－tan 5°)＝ .

2sin 20°tan 5°33

答案 (1) (2)

52

πtan α＋11

解析 (1)∵tan(α＋)＝＝，

41－tan α73sin α∴tan α＝－＝，

4cos α4

∴cos α＝－sin α.

3又∵sinα＋cosα＝1， 92

∴sinα＝.

25

π3

又∵α∈(，π)，∴sin α＝.

25

2

2

2cos10°cos5°－sin5°

(2)原式＝－sin 10°·

4sin 10°cos 10°sin 5°cos 5°＝＝＝＝

cos 10°sin 20°－

2sin 10°sin 10°cos 10°－2sin 20°

2sin 10°

cos 10°－2sin30°－10°

2sin 10°

cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°

2sin 10°3. 2

222

＝

题型二 三角函数公式的灵活应用

例2 (1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为 ． 142

2cosx－2cosx＋

2

(2)化简：＝ .

ππ2

2tan－xsin＋x44cos 15°＋sin 15°

(3)求值：＝ .

cos 15°－sin 15°答案 (1)

21

(2)cos 2x (3)3 22

解析 (1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝

2. 2

142

4cosx－4cosx＋12

(2)原式＝

π

2×sin－x4π2

·cos－xπ4cos－x42cosx－1cos2x＝＝

πππ4sin－xcos－x2sin－2x442cos2x1

＝＝cos 2x. 2cos 2x2

1＋tan 15°tan 45°＋tan 15°

(3)原式＝＝

1－tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝3.

2

2

2

2

思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．

(1)已知α∈(0，π)，化简：

1＋sin α＋cos α·cos－sin

22

2＋2cos ααα＝ .

(2)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋3tantan的值

2222为 ．

答案 (1)cos α (2)3 解析 (1)原式＝ 2cos

2

ACACα＋2sincos

222

αα·cos－sin

22

2

αα.

4cos

α2

因为α∈(0，π)，所以cos>0， 2所以原式＝ 2cos

2

αα＋2sincos222

αα·cos－sin

22

αα＝(cos

α2

2cos

cos

2

α2

＋sin

α2

)·(cos

α2

－sin

α2

)＝

α2

－sin

2

α2

＝cos α.

2πA＋CπA＋C(2)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan

3232

＝3，

所以tan ＋tan ＋3tan tan

2222

ACAC????＝tan?＋??1－tan tan ?＋3tan tan

22?22?22????＝3?1－tan tan ?＋3tan tan ＝3.

22?22?

题型三 三角函数公式运用中角的变换

31

例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝ ，

53cos β＝ .

π?22?(2)(2013·课标全国Ⅱ改编)已知sin 2α＝，则cos?α＋?＝ .

4?3?答案 (1)－1091

10 (2) 10506

ACACACACACπππ

解析 (1)∵α，β∈(0，)，从而－<α－β<.

2221

又∵tan(α－β)＝－<0，

3π

∴－<α－β<0.

2∴sin(α－β)＝－

10310，cos(α－β)＝. 1010

34

∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝.

55∴cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 4310310910

＝×＋×(－)＝. 51051050π??1＋cos2?α＋?4?π??2?(2)因为cos?α＋?＝

4?2?π??1＋cos?2α＋?2?1－sin 2α?

＝＝，

222

1－31π?1－sin 2α2?所以cos?α＋?＝＝＝.

4?226?

思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已