[步步高]（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例 理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量

5.4 平面向量应用举例 理

1．向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 线平行、点共线等问题 所用知识 共线向量定理 公式表示 a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 a⊥b?a2b＝0?x1x2＋y1y2＝0， 垂直问题 数量积的运算性质 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 a2bcos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，|a||b|b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝a＝x＋y， 其中a＝(x，y)，a为非零向量 222(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 设向量运算还原

平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F2s＝|F||s|cos θ (θ为

F与s的夹角)．

3．平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．

1

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“3”) →→

(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．( √ ) (2)向量b在向量a方向上的投影是向量．( 3 )

(3)若a2b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a2b＜0，则a和b的夹角为钝角．( 3 ) →→

(4)在△ABC中，若AB2BC<0，则△ABC为钝角三角形．( 3 )

→

(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→→→

＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.( √ )

→→

1．已知等边△ABC的边长为1，则|3AB＋4BC|＝________. 答案

13

→→2→→→→?1?解析 因为|3AB＋4BC|＝9＋24AB2BC＋16＝25＋2431313?－?＝13，所以|3AB＋4BC|＝

?2?13.

→→→→

2．已知在△ABC中，|BC|＝10，AB2AC＝－16，D为边BC的中点，则|AD|＝________________________________________________________________________. 答案 3

→→→→222

解析 在△ABC中，由余弦定理可得，AB＋AC－2AB2ACcos A＝BC，又AB2AC＝|AB|2|AC→→2222

|cos A＝－16，所以AB＋AC＋32＝100，AB＋AC＝68.又D为边BC的中点，所以AB＋AC＝→→2→

2AD，两边平方得4|AD|＝68－32＝36，解得|AD|＝3.

→→→

3．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________． 答案 1∶2

解析 设D为AC的中点， 如图所示，连结OD， →→→则OA＋OC＝2OD. →→→又OA＋OC＝－2OB，

→→

所以OD＝－OB，即O为BD的中点，

从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.

4．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹

2

角为60°，则力F所做的功W＝________ J. 答案 300

解析 W＝F2s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝631003cos 60°＝300(J)．

→→?y?C(x，

5．平面上有三个点A(－2，y)，B?0，?，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________．

?2?答案 y＝8x(x≠0)

2

y?→?y?→?

解析 由题意得AB＝?2，－?，BC＝?x，?，

2???2?

→→→→

又AB⊥BC，∴AB2BC＝0，

即?2，－?2?x，?＝0，化简得y＝8x(x≠0).

2??2??

?

y??y?2

题型一 向量在平面几何中的应用

→→

例1 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA→→

＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)． 答案 重心

→→→→→→→→

解析 由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋→

AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重

心． 引申探究

→??→ABAC?→→?＋在本例中，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过

→??|→

?AB||AC|?△ABC的_____________________________________________________________． 答案 内心

→??→ABAC?→→→?＋解析 由条件，得OP－OA＝λ，即AP＝λ→??|→

?AB||AC|?

→?→→?→

?AB＋AC?，而AB和AC分别表

→??|→→→

|AB||AC|?AB||AC|?

→

→→

ABAC→→→

示平行于AB，AC的单位向量，故＋平分∠BAC，即AP平分∠BAC，所以点P的轨迹必

→→|AB||AC|

3

过△ABC的内心．

思维升华 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．

→→

(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC2BE＝1，

则AB＝________.

→→→→→

(2)平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)2AC＝0，则四边形ABCD的形状是________． 1

答案 (1) (2)菱形

2

→→→→→1→

解析 (1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE＝FD，∴BE＝FD＝AD－AB，

2→→→又∵AC＝AD＋AB，

→→→→→1→∴AC2BE＝(AD＋AB)2(AD－AB)

2→21→→→→1→2＝AD－AD2AB＋AD2AB－AB

221→2→21→→

＝|AD|＋|AD||AB|cos 60°－|AB|

2211→1→2

＝1＋3|AB|－|AB|＝1.

222

→→1?1→?→

∴?－|AB|?|AB|＝0，又|AB|≠0，∴|AB|＝.

2?2?

→→→→→→→→→→

(2)AB＋CD＝0?AB＝－CD＝DC?平面四边形ABCD是平行四边形，(AB－AD)2AC＝DB2AC＝0→→

?DB⊥AC，所以平行四边形ABCD是菱形． 题型二 向量在解析几何中的应用

→→→

例2 (1)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．

→→22

(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)＋y＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足OM2CM＝0，则＝________.

答案 (1)2x＋y－3＝0 (2)±3 →→→

解析 (1)∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)， →→→→→BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC， ∴(4－k)(k－5)＋637＝0， 解得k＝－2或k＝11.

4

yx