2015专题六：圆锥曲线教师版 理科 含14年高考试题

2015专题六：圆锥曲线(教师版）

题型一：离心率问题：

椭圆离心率

22xy设椭圆2?2?的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使?，求离心率1（a?b?0）FPF90?12?abe的取值范围。

解法1：利用曲线范围

设P（x，y），又知Fc，则 （?，0），F（c，0）12F1P?(x?c，y)，F2P?(x?c，y)由?F1PF2?90?，知F1P?F2P， 则F1P?F2P?0，??????

即(x?c)(x?c)?y2?0得x2?y2?c2 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

a2c2?a2b2x?a2?b2但由椭圆范围及?F1PF2?90?2知0?x?a22

a2c2?a2b2即0??a222a?b可得c2?b2，即c2?a2?c2，且c2?a2而得e? 从c2c?，且e??1a2a2所以e?[，）12

解法2：利用二次方程有实根

由椭圆定义知

222 |PF|?|PF|?2a?|PF|?|PF|?2|PF||PF|?4a121212又由?FPF90?，知12?

2222|PF|?|PF|?|FF|?4c1212则可得|PF||PF|?2(a?c)1222

222这样，|PF|与|PF|是方程u?2au?2(a?c)?0的两个实根，因此12 1

??4a2?8(a2?c2)?0c21 ?e?2?2a2?e?22

因此e?[2，1) 2 解法5：利用基本不等式

由椭圆定义，有2 平方后得 a?|PFP|?|F|12 4 a?||PF?||PF?2||PF??||PF2(||PF?||PF)?2|FF|?8c121212122222222c212 得2? 所 以有e?[，1）22a 解法6：巧用图形的几何特性

由?，知点P在以|F为直径的圆上。 FPF90?F|?2c12?12 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有c ?bc??bac??2，1） 2一、直接求出a，c或求出a与b的比值，以求解e。

由此可得e?[2222ccc2a2?b2b2在椭圆中，e?，e????1?2 22aaaaa31.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 23.若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则椭圆的离心率为

1 24.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为

1。 2x2y225.若椭圆2?2?1,(a?b?0)短轴端点为P满足PF1?PF2，则椭圆的离心率为e?。

2ab12x2y236..已知??1(m?0.n?0)则当mn取得最小值时，椭圆2?2?1的的离心率为

mn2mn7

8.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e?2。 2 2

x2y29.P是椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，已知?PF1F2??,?PF2F1?2?, ?F1PF2?3?,椭圆的离心率

ab为e?3?1

??10.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若?PF1F2?15,?PF2F1?75， 则椭圆的离心率为

6 31x2y213.椭圆2?2?1（a>b>0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于∣AF∣，则椭圆的离

2ab6心率是。

3ax2y215.已知直线L过椭圆2?2?1（a>b>0）的顶点A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L的距离为，则椭圆的

2ab离心率是

6 3?a2?x2y216.在平面直角坐标系中，椭圆2?2?1( a?b?0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点?,0?作圆

ab?c?的两切线互相垂直，则离心率e=二、构造a，c的齐次式，解出e

1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

2 23 52．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是3?1

3．以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是3?1

4．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的

离心率是2?1

5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是

3 3x2y26．设F1、F2分别是椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c （c 为半焦距）的点，

ab2且F，则椭圆的离心率是 F?FP1222三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1?MF2?0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(0,2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且?F1PF2?90，椭圆离心率e的取值范围为??2) 2?2?,1?? 2?? 3