2020高考数学大二轮复习专题7立体几何第2讲综合大题部分真题押题精练理

→n·DA525→→cos〈n，DA〉＝＝，sin〈n，DA〉＝. →55|n||DA|

25

所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.

5

1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB＝4，∠ABC＝60°，PA⊥AD，E，F分别为BC，

PE的中点，AF⊥平面PED.

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求直线BF与平面AFD所成角的正弦值． 解析：(1)证明：连接AE， 由BC＝2AB＝4，∠ABC＝60°，

∴AE＝2，ED＝23，从而有AE2

＋ED2

＝AD2

， 所以AE⊥ED，

又AF∩AE＝A，所以ED⊥平面PAE，PA?平面PAE，则ED⊥PA， 又PA⊥AD，AD∩ED＝D，所以PA⊥平面ABCD.

(2)以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,2,0)，D(23，0,0)，B(－3，1,0)， 因为AF⊥平面PED，所以AF⊥PE， 又F为PE的中点，所以PA＝AE＝2，

5

→→→

所以P(0,2,2)，F(0,1,1)，AF＝(0，－1,1)，AD＝(23，－2,0)，BF＝(3，0,1)， 设平面AFD的法向量为n＝(x，y，z)， →??AF·n＝0，由?→??AD·n＝0，

?－y＋z＝0，

得?

?23x－2y＝0，

令x＝1，得n＝(1，3，3)． 设直线BF与平面AFD所成的角为θ，

→

|BF·n|2321→

则sin θ＝|cos〈BF，n〉|＝＝＝，

→72×7|BF||n|即直线BF与平面AFD所成角的正弦值为

21

. 7

2．如图所示，在四棱锥P -ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝22，E为CD的中点，点F在线段PB上．

(1)求证：AD⊥PC；

(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．

解析：(1)证明：如图所示，在平行四边形ABCD中，连接AC，

因为AB＝22，BC＝2，∠ABC＝45°，

由余弦定理得，AC＝AB＋BC－2·AB·BC·cos 45°＝4，得AC＝2，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

又AD∥BC，所以AD⊥AC， 因为AD＝AP＝2，DP＝22，

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2

2

2

所以PA⊥AD，

又AP∩AC＝A，所以AD⊥平面PAC， 所以AD⊥PC.

(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，

所以PA⊥底面ABCD，所以直线AC，AD，AP两两互相垂直，以A为原点，直线AD，AC，

AP为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz，则A(0,0,0)，D(－2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(－1,1,0)，P(0,0,2)，所以PC＝(0,2，－2)，PD＝(－2,0，－

→

→

2)，→

PB＝(2,2，－2)．

设PFPB＝λ(λ∈[0,1])，

则→

PF＝(2λ，2λ，－2λ)，F(2λ，2λ，－2λ＋2)，

所以→

EF＝(2λ＋1,2λ－1，－2λ＋2)，易得平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)．设平面PDC的法向量为n＝(x，y，z)， ?由??

n·→PC＝0，

得???

2y－2z＝0，??n·→PD＝0，

??

－2x－2z＝0，

令x＝1，得n＝(1，－1，－1)．

因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等， 所以|cos〈→EF，m〉|＝|cos〈→

EF，n〉|， 即|→EF·m|＝|→

EF·n|，

|→EF||m||→

EF||n|

所以|－2λ＋2|＝|2λ

3|，即3|λ－1|＝|λ|(λ∈[0,1])，

解得λ＝3－3PF3－3

2，所以PB＝2

. 7

即当＝PF3－3

时，直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．

PB2

3．如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，∠AA1B1＝45°，AC＝BC，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，E为CC1中点．

(1)求证：BB1⊥AC；

(2)若AA1＝2，AB＝2，直线A1C1与平面ABB1A1所成角为45°，求平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

解析：(1)证明：过点C做CO⊥BB1交BB1于O， 因为面BB1C1C⊥面AA1B1B，

BB1C1C∩面AA1B1B＝B1B，

所以CO⊥面AA1BB1，故CO⊥BB1， 又因为AC＝BC，OC＝OC，

所以Rt△AOC≌Rt△BOC，故OA＝OB， 因为∠B1A1A＝∠OBA＝45°，所以AO⊥BB1， 又因为BB1⊥CO，所以BB1⊥面AOC， 故BB1⊥AC.

(2)以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标O -xyz，

A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，A1(1，－2,0)，B1(0，－1,0)，E(0，－1,1)，

设面A1B1E的法向量为n＝(x1，y1，z1)， →??n·A1E＝0，则?

→??n·B1E＝0，

??－x1＋y1＋z1＝0，

∴?

?z1＝0，?

令x1＝1，得n＝(1,1,0)．

设面ABC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，

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