（优辅资源）山西省太原市第五中学高三上学期10月月考试题数学（理）Word版含答案

太原五中2018—2019学年度第一学期阶段性检测

高 三 数 学（理）

出题人、校对人：张立冬、王萍（2018.10）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A?{x|x2?2x?3?0}，B???x1?1??，则AIB?（ ） ?x?A．{x|1?x?3} B．{x|?1?x?0或1?x?3} C．{x|?1?x?3} D．{x|?1?x?0或0?x?3}

2.若复数z满足(1?i)z??2i，其中i为虚数单位，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.设a?log26，b?log515，c?log721，则（ ） A. c?b?a B.b?c?a C.a?c?b D.a?b?c 4.执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，20，则输出的a?（ ）

A. 0 B. 2 C. 4 D. 12

5. 已知数列?an?的前n项和Sn?2??an，且a1?1，则S5?（ ）

A. 27 B. 533127 C. 16 D. 31

6.数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如28?5?23?11?17.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）

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A.112 B.114 C.115 D.118 7.在?ABC中，a?2,?C??B14,tan2?2，则?ABC的面积等于（ ）

A.

85 B.527 C.827 D.87

8.若函数f(x)????2x?1,x?1在R上是增函数，则a的取值范围为（ ）

???x2?ax?1,x?1A．[2,3] B．[2,??) C．[1,3] D．[1,??)

9. 已知向量av，bv的夹角为60?，且av?2，av?2bv?27，则bv?（ ）

A. 2

B. 3

C. 2 D. 3

10.已知函数f(x)?Asin(wx??)（其中A?0,w?0,0????）的图象关于点

M(5?12,0)成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N(2?3,?3)，则对于下列判断：

①直线x??2是函数f(x)图象的一条对称轴； ②点(??12,0)是函数f(x)的一个对称中心；

③函数y?1与y?f(x)(??12?x?35?12)的图象的所有交点的横坐标之和为7?. 其中正确的判断是（ ）

A．①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③

x2C:y211．已知椭圆a2?b2?1(a?b?0)长轴两个端点分别为A、B，椭圆上一动点P（异

于A，B）和A、B的连线的斜率之积为常数?，则椭圆C的离心率为( ) A．1?? B.1?? C.1 D．1??21??2 12. 已知函数f(x)?2lnx(1e?x?e2)，g(x)?mx?1，若f(x)与g(x)的图像上存在关于直线y?1对称的点，则实数m的取值范围是（ ）

A． [?2e,2e] B．???3e?2,3e?? C. ???e?2,3e?? D. [?2e?32,3e] 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13. 定积分

?1?1(ex?e?x?1)dx?a，则(x?a)5展开式中x2的系数是 ．

14.已知?x?表示不超过实数x的最大整数，函数g(x)??x?，x0是函数

f(x)?log32x?x的零点，则g(x0)= ． 15. 已知数列?a是其前n项和，S1n?中，Snn?2n?(?1)nan，则S19=________.

16. 已知四边形ABCD中，AB?BC?CD?1，DA?3，设△ABD与△BCD面 积分别为S1，S2.则S221?S2的最大值为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知△ABC的内角A，B，C满足sinA?sinB?sinCsinC?sinBsinA?sinB?sinC． （1）求角A；

（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．

18．（本小题满分12分）

某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：

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一次购物款（单位：元） ?0,50? ?50,100? ?100,150? ?150,200? ?200,??? 顾客人数 a 20 30 20 b 统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．

（1）试确定a，b的值，并估计每日应准备纪念品的数量；

（2）现有5人前去该商场购物，求获得纪念品的人数?的分布列与数学期望．

19.（本题满分12分）

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．

（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的余弦值.

20. （本小题满分12分）

已知p?0，抛物线C221：x?2py与抛物线C2：y?2px异于原点O的交点为M，且抛物线C1在点M处的切线与x轴交于点A，抛物线C2在点M处的切线与x轴交于点B，与y轴交于点C.

[ （1）若直线y?x?1与抛物线Cuuuruuur来1交于点P，Q，且PQ?26，求OP?OQ；

（2）证明：?BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值.

21.（本小题满分12分） 已知函数f?x??mex?lnx?1.

（Ⅰ）当m?1时，求曲线y?f?x?在点?1，f?1??处的切线方程； （Ⅱ）当m?1时，证明：f?x??1.

请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.

22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，直线C?x?cos?1:y??2，曲线C2:??y?1?sin?（0???2?），以坐

标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C1,C2的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程为???6(??R)，若l与C1交于点P，l与C2的交点为O,Q，

求?C2PQ的面积.

23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】 已知函数f(x)?|x?5|?|x?4|. （Ⅰ）求不等式f(x)?11的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)?(13a?12)?1?0的解集不是空集，求实数a的取值范围.

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10月月考答案

一、选择题

1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.A 9.D 10.C 11.A 12.D 二、填空题

13. 80； 14.2； 15.?17220 16. 8

三、解答题 17.解：（1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．

根据sinA?sinB?sinCsinBsinC?sinA?sinB?sinC，可得

a?b?cc?ba?b?c?a2?b2?c2?bc， b2?c2?a2所以cosA?bc12bc?2bc?2，

又因为0?A??，所以A??3． （2）

asinA?2R?a?2RsinA?2sin?3?3， 所以3?b2?c2?bc≥2bc?bc?bc，所以S?113332bcsinA≤2?3?2?4（b?c时取等号）．

18.解：（1）由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有

b?20?100?30%，b?10；a?100??20?30?20?10??20． 该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000?60100?3000． （2）由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p?60100?35，·

故5人购物获得纪念品的人数服从二项分布，即?:B(5,35)，

P(??0)?C0323213124485(5)0(5)5?3125，

P(??1)?C5(5)(5)?625，P(??2)?C2321443332165(5)2(5)3?625，P(??3)?C225(5)(5)?625，

P(??4)?C43421625(5)(5)1?625，P(??5)?C5(352024355)(5)?3125 ?的分布列为：

? 0 1 2 3 4 5 P 32 48 P(?144?4) ?C421634216224331256256255(6255)( 5)1?625 3125 ?数学期望为E??5?35?3．

19.解:（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC． ∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．

取Buuuvuuuuvuuuv1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间

直角坐标系： O?xyz，如图所示，则B(1，0，0)，D(?1，1，0)， A1(0，2，

3)，A(0，0，3)，Buuuuv?1,2,?3?，uBDuuv???2,1,0?，uBAuuv1(1，2，0)，∴AB1?1???1,2,3?．

∴ABuuuuvuuuvuuuuvuuuvuuuuvuuuvuuuuvuuuv1?BD?0，AB1?BA1?0，∴AB1?BD，AB1?BA1，∴AB1?平面A1BD．

（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为n??x,y,z?． uADuuv?(?1,1,?3)，uAAuuuv1?(0,2,0)． ∵n?uADuuv，n?uAAuuuv??n?uADuuv?0???x?y?3z?0??y?01，∴??uuuu，∴?，?n?AAv?，令z?1得1?0??2y?0??x??3zn?(?3,0,1)为平面A1AD的一个法向量．由（1）知

ABuuuuv1?平面A1BD，AB1为平面A1BD的法向量，

∴cosn,uABuuuvn?uABuuuv1?n?uABuuu1v??3?3612?22??4． 优质文档

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∴二面角A－A1D－B的大小的余弦值为6 420. 解：（1）由??y?x?1x2?2py，消去y得x2?2px?2p?0.

?设P，Q的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1?x2?2p，x1x2??2p. ∴PQ?1?12?(2p)2?4(?2p)?26，∵p?0，∴p?1.

∴uOPuur?uOQuur?x1x2?y1y2?x1x2?(x1?1)(x2?1)?2x1x2?x1?x2?1??4?2?1??1.

（2）证明：由???y2?2px2，得x?y?2p或x?y?0，则M(2p,2p)?.

?x?2py设直线AM：

y?2p?k1(x?2p)，与

x2?2py联立得

x2?2pk1x?4p2(1?k1)?0.

由?1?4p2k21?16p2(1?k1)?0，得(k1?2)2?0，∴k1?2. 设直线

BM：

y?2p?k2(x?2p)，与

y2?2px联立得

k22y2?2py?4p(1?k2)?0.

由?22?4p?16p2k2(1?k2)?0，得(1?2k22)?0，∴k2?12. 故直线AM：y?2p?2(x?2p)，直线BM：y?2p?12(x?2p)，

从而不难求得A(p,0)，B(?2p,0)，C(0,p)， ∴S2?BOC?p，S?ABM?3p2，

∴?BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为p23p2?p2?12（为定值）.