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εi : 相互独立且服从同一正态分布的随机变量 （i=1,2，···7） Qi: 变量xj的偏回归平方和（i=1,2，···7） 2
S: 平方和 S回: 回归方程和
βi : 待估计系数参数（i=1,2，···7）
bi : 参数βj的最小二乘估计 （i=1,2，···7）
五、模型的建立与分析
（一）问题一的模型建立与分析
经过分析，对于问题一我们建立“层次分析法”模型进行求解。应用层次分析法分析问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次结构的模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分，这些元素又由隶属性及关系形成若干层次，上一层元素作为准则对下一层次某些元素起支配作用。这些层次可分为三类：
最高层为目标层(O)：问题决策的目标或理想结果，只有一个元素。
中间层为准则层(C)：包括为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一因素为一准则，当准则多于9个时可分为若干个子层。
最低层为方案层(P)：方案层是为实现目标而供选择的各种措施，即为决策方案。
构造判断矩阵主要是通过比较同一层次上的各因素对上一层相关因素的影响作用，而不是把所有因素放在一起比较，即将同一层的各因素进行两两对比。比较时采用相对尺度标准度量，尽可能地避免不同性质的因素之间相互比较的困难。同时，要尽量依据实际问题具体情况，减少由于决策人主观因素对结果造成的影响。
设要比较n个因素，，?，对上一层(如目标层)O的影响程度，即要确定它在O中所占的比重。对任意两个因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对O的影响程度之比，按1—9的比例标度来度量aij(i,j＝1，2，?，n)。于是，可得到两两成对比较矩阵A＝(aij)n×n，又称为判断矩阵，显然
aij>0 , aij=1/aji , aii=1 (i,j＝1，2，?，n) 因此，又称判断矩阵为正互反矩阵。
由正反矩阵的性质可知，只要确定A的上（或下）三角矩阵的[n(n-1)/2]个元素即可。在特殊情况下，如果判断矩阵A的元素具有传递性，即满足
aikakj= aij (i,j,k＝1，2，?，n) 则称A为一致性矩阵，简称为一致阵。 通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性．实际中，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的范围内．
判断矩阵一致性指标CI(Consistency Index)：
4
CI???nn?1
一致性指标CI的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大，CI的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般判断矩阵的阶数n越大，人为造成的偏离完全一致性指标CI的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标CI的值便越小。
对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标RI(Random Index),下表给出了1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标 。
n 1 2 3 4 5 6 7 8 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 n 9 10 11 12 13 14 15 RI 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 当n<3时，判断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵一致性指标 CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR(Consistency Ratio)。
当CR<0.10时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致性。当CR≥0.10时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足CR<0.10 ，从而具有满意的一致性。
求解特征向量可以由MATLAB软件方便的求得，也可以使用层次分析法的专门软件：YAAHP5.0，进行求解。我们采用MATLAB对模型进行求解。
对于本题我们建立了如下的层次分析法模型：目标层为食品质量安全；准则层为八大类产品，分别为：蔬菜类及其制品（包括一些菌类），水产品及其制品，肉制品，粮食制品，饮品（包括茶），休闲食品，调味品，第八类；方案层为三类影响食品质量安全的因素：微生物，重金属，添加剂含量。如下图：
根据上述层次分析法的原理，我们构造了准则层对目标层的判断矩阵A（见附录），以及方案层对准则层的判断矩阵Ai，Bi，Ci（i=1,2，···，8）（见附录）。
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将各个判断矩阵输入到MBTLAB软件中，可以求出：
（1）矩阵A的特征值λ为8.1131，一致性比例为0.0011459，各分类对食品质量安全的权重向量w=（0.0369 0.0596 0.0596 0.1034 0.0596 0.2376 0.1034 0.3399 )T ；所占比重如下图：
(2) 矩阵A1的特征值λ1为3.0246，2010年三因素对蔬菜及其制品的权重向量w1=（0.1168 0.1998 0.6833）T；
(3) 矩阵B1的特征值λ2为3.0037，2011年三因素对蔬菜及其制品的权重向量w2=（0.2297 0.1220 0.6483）T；
(4) 矩阵C1的特征值λ3为3.0246，2012年三因素对蔬菜及其制品的权重向量w3=（0.1998 0.1168 0.6833）T；
(5) 矩阵A2的特征值λ4为3.0183，2010年三因素对水产品及其制品的权重向量w4=（0.1220 0.5584 0.3196）T；
(6) 矩阵B2的特征值λ5为3.0536，2011年三因素对水产品及其制品的权重向量w5=（0.1085 0.3445 0.5469）T；
(7) 矩阵C2的特征值λ6为3.0183，2012年三因素对水产品及其制品的权重向量w6=（0.1220 0.3196 0.5584）T；
(8) 矩阵A3的特征值λ7为3.0037，2010年三因素对肉制品的权重向量w7=（0.1095 0.5816 0.3090）T；
(9) 矩阵B3的特征值λ8为3.0246，2011年三因素对肉制品的权重向量w8=（0.0974 0.5695 0.3331）T；
(10) 矩阵C3的特征值λ9为3.0055，2012年三因素对肉制品的权重向量w9=（0.1005 0.4665 0.4330）T；
(11) 矩阵A4的特征值λ10为3.0055，2010年三因素对粮食制品的权重向量w10=（0.1283 0.5954 0.2764）T；
(12) 矩阵B4的特征值λ11为3.0055，2011年三因素对粮食制品的权重向量w11=（0.5954 0.1283 0.2764）T；
(13) 矩阵C4的特征值λ12为3.0037，2012年三因素对粮食制品的权重向量w12=（0.5816 0.1095 0.3090）T；
(14) 矩阵A5的特征值λ13为3.0037，2010年三因素对饮品的权重向量w13=（0.1220 0.6483 0.2297）T；
(15) 矩阵B5的特征值λ14为3.2948，2011年三因素对饮品的权重向量w14=（0.1789 0.6118 0.2092）T；
(16) 矩阵C5的特征值λ15为3.0536，2012年三因素对饮品的权重向量w15=（0.1571 0.2493 0.5936）T；
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(17) 矩阵A6的特征值λ16为3.0246，2010年三因素对休闲食品的权重向量w16=（0.0974 0.5695 0.3331）T；
(18) 矩阵B6的特征值λ17为3.0183，2011年三因素对休闲食品的权重向量w17=（0.1120 0.5584 0.3196）T；
(19) 矩阵C6的特征值λ18为3.1083，2012年三因素对休闲食品的权重向量w18=（0.1692 0.4434 0.3874）T；
(20) 矩阵A7的特征值λ19为3.0246，2010年三因素对调味品的权重向量w19=（0.0974 0.5695 0.3331）T；
(21) 矩阵B7的特征值λ20为3.1078，2011年三因素对调味品的权重向量w20=
T
（0.1243 0.3586 0.5171）；
(22) 矩阵C7的特征值λ21为3.0536，2012年三因素对调味品的权重向量w21=
T
（0.1396 0.3325 0.5278）；
(23) 矩阵A8的特征值λ22为3.0183，2010年三因素对第八类的权重向量w22=（0.1220 0.5584 0.3196）T；
(24) 矩阵B8的特征值λ23为3.1356，2011年三因素对第八类的权重向量w23=（0.1677 0.3487 0.4836）T；
(25) 矩阵C8的特征值λ24为3.1356，2012年三因素对第八类的权重向量w24=
T
（0.5472 0.1897 0.2631）；
(26) 2010年三种因素对所有食品质量安全的权重、饼图如下：
三种因素 权重 重金属（蓝色） 0.1133 （绿色） 微生物 0.5285 添加剂（红色） 0.3582
(27) 2011年三种因素对所有食品质量安全的权重、饼图如下：
三种因素 权重 重金属（蓝色） 0.1918 0.3966 添加剂（红色） 0.4210 安
微生物（绿色）
(28) 2012年三种因素对所有食品质量
全的权重、饼图如下：
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