2.3.2平面向量的坐标运算

2.3.2平面向量的坐标运算

一、

教学目标： 1、知识与技能

（1）理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；

（2）正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的

关系来用坐标表示；

（3）掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。

（4）掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。 2、过程与方法

在教学过程中，通过学习向量的坐标表示，实现几何与代数的完美结合，使学生明白知识事物之间，事物之间的相互联系和相互转化。

3、情感、态度与价值观

通过用从特殊到一般的认知规律研究数学问题，拓宽学生的数学视野，崇尚数学精神，培养学生审慎思维的习惯。

通过学习，培养学生独立思考、勇于创新的精神。 二、教学重、难点

重点：平面向量的坐标运算；

难点：平面向量的坐标的有关运用； 三、学法与教学用具

学法：自主、合作、探究.

教法：问题引领、主体参与、师生互动. 教具：多媒体、三角板 四、教学设想 （一）创设情境

1．平面向量的基本定理：a??1e1??2e2；

2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(x,y)表示，那么，每一个向量可否也用 一对实数来表示？ （二）探究新知

1．向量的坐标表示的定义：

(1)位置向量

以原点O为起点的向量叫做位置向量。

如图，以原点O为起点的向量OM对应的点M(4,3)；反之，点M(4,3)对应以原点O为起点的向量OM。因此，向量的OM坐标用点M的坐标(4,3)来表示。

M(4,3) O y y aA(x , y) ax

O x

(2)平面向量的坐标的定义

对于向量a，如图，当它的起点移至原点O时，终点的坐标(x,y)称为向量a的（直角）坐标。记做a?(x,y)

分别选取与x轴、y轴方向相同的单位向量i，j作为基底，对于任一向量a，

,R?）（xy，实数对(x,y)叫向量a的坐标，记作a?(x,y)． 其中x叫向量a?xi?yj，

a在x轴上的坐标，y叫向量a在y轴上的坐标。

说明：（1）对于a，有且仅有一对实数(x,y)与之对应；

（2）相等的向量的坐标也相同； （3）i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)；

（4）从原点引出的向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标。

y a

j O A(x,y)

i

x

练习： 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d， 并求出它们的坐标。

y A2 解：由图知：a?2i?2j?(2,2)；

b??2i?2j?(?2,2)；

c??2i?2j?(?2,?2)；

b

A O a A1

d?2i?2j?(2,?2)．

2．平面向量的坐标运算：

x

d

c 问题：已知a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，求a?b，a?b． 解：a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j 即a?b??x1?x2,y1?y2?． 同理：a?b?(x1?x2,y1?y2)．

y A(x1,y1)

B(x2,y2)

O x

结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 3．向量的坐标计算公式：

已知向量AB，且点A(x1,y1)，B(x2,y2)，求AB的坐标．

AB?OB?OA?(x2,y2)?(x1,y1)?(x2?x1,y2?y1)．

结论：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；

（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。

4．实数与向量的积的坐标：

已知a?(x,y)和实数?，则?a??(xi?yj)??xi??yj?(?x,?y) 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 练习： 已知a?(2,1)，b?(?3,4)，求a?b，a?b，3a?4b的坐标．

解：a?b=(2,1)?(?3,4)?(?1,5)；a?b?(2,1)?(?3,4)?(5,?3)；

3a?4b?3(2,1)?4(?3,4)?(?6,19)．

设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，（b?0），且a//b，

5．向量平行的坐标表示：

则a??b(??R,b?0)，∴(x1,y1)??(x2,y2)?(?x2,?y2). ?x1??x2∴?，∴x1y2?x2y1?0. ?y1??y2结论：向量平行（共线）的等价条件的两种表达形式： ①a//b(b?0)?a??b(??R,b?0)；

②a//b(b?0)且设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)?x1y2?x2y1?0（x1,x2,y1,y2?R） 练习：已知a?(4,2)，b?(6,y)，且a//b，求y．

解：∵a//b，∴4y?2?6?0．∴y?3．

（三）学以致用

【例1】已知ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(?2,1)、(?1,3)、(3,4)，求顶点D的坐标。 解：设顶点D的坐标为(x,y)．

∵AB?(?1?(?2),3?1)?(1,2)，DC?(3?x,4?y)，

由AB?DC，得(1,2)?(3?x,4?y)．

?1?3?x?x?2∴? ∴? ∴顶点D的坐标为(2,2)． ?2?4?y?y?2【例2】（1）已知a的方向与x轴的正向所成的角为120，且|a|?6，则a的坐标为 ；

(?3,33)， (?3,?33)．

（2）已知a?(1,?2)，b?(?3,1)，c?(11,?7)，且c?xa?yb，求x，y．

解：（2）由题意，(11,?7)?x(1,?2)?y(?3,1)?(x?3y,?2x?y)，

∴??11?x?3y?x?2 ∴?．

??7??2x?y?y??3

【例3】已知A(?1,?1)，B(1,3)，C(2,5)，求证A、B、C三点共线．

证明：AB?(1?(?1),3?(?1))?(2,4)，AC?(2?(?1),5?(?1))?(3,6)， 又2?6?3?4?0，∴AB//AC.∵直线AB、直线AC有公共点A， ∴A，B，C三点共线。

【例4】已知a?(2,3)，b?(?1,2)，若ka?b与a?kb平行，求k．

解：ka?b=k(2,3)?(?1,2)?(2k?1,3k?2)

a?kb?(2,3)?k(?1,2)?(2?k,3?2k)

∴(2k?1)(3?2k)?(3k?2)(2?k)?0， ∴7k2?7，∴k??1.

【例5】已知a?(2,?4)，b?(?1,3)，c?(6,5)，p?a?2b?c，则以a，b为基底，

求p.

解：令c??a??b，则(6,5)??(2,?4)??(?1,3).

?2????6(6,5)?(2???,?4??3?)， ∴?，

?4??3??5?23?2321???∴?2， ∴p?a?2b?a?17b??a?15b.

22???17?

【例6】已知点A(?1,?1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平行与直线CD吗？

解：∵AB?(1?(?1),3?(?1))?(2,4)，CD?(2?1,7?5)=(1,2)，

又2?2?1?4?0， ∴AB//CD；

又AC?(1?(?1),5?(?1))?(2,6)，AB?(2,4)，2?4?2?6?0， ∴AC与AB不平行，

∴A、B、C不共线，AB与CD不重合，所以，直线AB与CD平行。 （四）拓展研究

问题：如图，在?OAB中，C为直线AB上一点，AC??CB????1?，则. OC?__OA?__OB在面我们已研究过这个问题，结论是：

O OC?OA??OB

1??A B 若设O(0,0),A(x1,y2),B(x1,y2)，你能求出C点的坐标吗？并解决下列问题： 1.已知A(1,3),B(?2,0)，点P在线段AB的延长线上，AP?3PB,求点P的坐标。 22.已知向量AB?(4,3),AD?(?1,?2)，点A(?1,?2)。（1）求线段BD中点M的坐标。

（2）若点P(2,y)满足PB??BD(??R)，求y与?的值。 （五）巩固深化

1．已知向量a?(x?3,x2?3x?4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，求x； 2．已知向量a?(1,2)，b?(x,1)，??a?2b，v?2a?b，且uv，求x． 3．已知A(?2,4)，B(3,?1)，C(?3,?4)，且CM?3CA，CN?2CB，求点M，N的坐标及向量MN的坐标；

4．已知a?(10,?4)，b?(3,1)，c?(?2,3)，试用b，c表示a； 5．设a?(,sin?)，b?(cos?,)，??(0,2?)，且a//b，求角?．

32136．已知A,B,C三点的坐标分别是(-1,0),(3,-1),(1,2)，并且AE?求证EF11AC,BF?BF,33AB。

（六）课堂小结

1．正确理解平面向量的坐标意义； 2．掌握平面向量的坐标运算；

3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题。 4．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；

5．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行； 6．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。 （七）布置作业

《课课练》第8课