2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案

4142

得sin θ＝，∴S＝×3×5×＝6 (cm)．

525

8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则＝____________.

sin A答案

239

3

a113

解析 由S＝bcsin A＝×1×c×＝3，∴c＝4.

222

∴a＝b＋c－2bccos A＝1＋4－2×1×4cos 60°

＝13.

a13239∴＝＝. sin Asin 60°3

9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是 ______________． 答案 2

解析 因为三角形有两解，所以asin B

2

即x<2

10．一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________km.

答案 202

2

2

2

2

解析 如图所示，∴BC＝

＝

sin 45°sin 30°

BCAC202

×sin 45°＝× sin 30°12

2

AC＝202 (km)． 三、解答题

11．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．

解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，

222

得b＋2bc＋c－a＝3bc，

b2＋c2－a2bc1222

即a＝b＋c－bc，∴cos A＝＝＝，

2bc2bc2

π∴A＝. 3

a2＋b2－c2a2＋b2－c2

又sin A＝2sin Bcos C．∴a＝2b·＝，

2aba22

∴b＝c，b＝c，∴△ABC为等边三角形．

12．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角． (1)求最大角的余弦值；

第32页 共183页

(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积． 解 (1)设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，

n2＋n＋2－n＋2

则cos θ＝<0，

2·nn＋2

化简得：n－2n－3<0?－1

*

∵n∈N且n＋(n＋1)>n＋2，∴n＝2.

4＋9－161

∴cos θ＝＝－. 2×2×34

(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，平行四边形的面积为：

151522

S＝a(4－a)·sin θ＝(4a－a)＝[－(a－2)＋4]≤15.

44当且仅当a＝2时，Smax＝15.

能力提升

1

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－. 4

(1)求sin C的值；

(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．

12

解 (1)∵cos 2C＝1－2sinC＝－，0

4∴sin C＝

10. 4

(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理＝，

sin Asin C得c＝4.

12

由cos 2C＝2cosC－1＝－及0

46. 4222

由余弦定理c＝a＋b－2abcos C，

2

得b±6b－12＝0(b>0)， 解得b＝6或26， 得cos C＝±∴?

ac?b＝6，?c＝4

或?

?b＝26，?c＝4.

14．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．

解 设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，

222

即14＝x＋10－20xcos 60°， 2

∴x－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去)， 即BD＝16.

在△BCD中，由正弦定理

＝，

sin∠CDBsin∠BCD

BCBD16sin 30°∴BC＝＝82.

sin 135°

第33页 共183页

1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．

2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．

第34页 共183页

第一章 解三角形章末检测（A）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝5

b，A＝2B，则cos B2

等于( )

A.53 B.54 C.555 D.6 答案 B

解析 由正弦定理得asin b＝Asin B，

∴a＝5sin A2b可化为sin B＝52

. 又A＝2B，∴sin 2B55

sin B＝2，∴cos B＝4

. 2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC= 10，则BA·→

AC等于( )

A．－322 B．－233 C.3 D.2

答案 A

解析 由余弦定理得

cos A＝AB2＋AC2－BC29＋4－102AB·AC＝12＝1

4

.

∴AB·→AC＝|→AB|·|→

AC|·cos A＝3×2×134＝2

. ∴BA·→AC＝－→AB·→

AC＝－32.

3．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( A．25 B.5

C．25或5 D．以上都不对 答案 C

解析 ∵a2＝b2＋c2

－2bccos A，

∴5＝15＋c2

－215×c×32.

化简得：c2

－35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0， ∴c＝25或c＝5.

4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解

D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 答案 D

解析 A中，因absin A＝sin B，

第35页 共183页

)