2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案

5150

∴当x＝(小时)＝(分钟)时，

147

2

y有最小值．∴y最小． 二、填空题

7．如图，A、B两点间的距离为________．

答案 32－2

8．如图，A、N两点之间的距离为________．

答案 403

9．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得 ∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______．

答案 60 m

解析 在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝120 m. 作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．

由正弦定理得＝，

sin∠ADCsin∠CAD120CD∴＝， sin 90°sin 30°∴CD＝60(m)

∴河的宽度为60 m.

10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.

3

答案

6

解析

ACCD

如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°， ∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km. 由正弦定理得

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BC∴BC＝

sin∠CAB＝

sin∠ACBAB16－2

·sin 15°＝ (km)．

sin 60°23设C到直线AB的距离为d，

6－26＋23

则d＝BC·sin 75°＝·＝ (km)．

4623

三、解答题

11．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求：

(1)A处与D处的距离； (2)灯塔C与D处的距离．

解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝126×22

ABsin B＝

sin ∠ADB＝24(n mile)． 32

(2)在△ADC中，由余弦定理得

CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 30°， 解得CD＝83≈14(n mile)．

即A处与D处的距离为24 n mile， 灯塔C与D处的距离约为14 n mile.

12．如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．

3

km，∠ADB＝2

解 在△BDC中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得＝，

sin 30°sin 45°

6

(km)．

sin 45°4

在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，

3

∴△ACD为正三角形．∴AC＝CD＝(km)．

2

在△ABC中，由余弦定理得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45° 则BC＝

＝第21页 共183页

BCCDCDsin 30°

363623＝＋－2×××＝， 4162428∴AB＝

6

(km)． 4

6

km. 4

答 河对岸A、B两点间距离为

能力提升 13．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( )

A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时 答案 B

解析 设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：

222

(20t)＋40－2×20t×40·cos 45°＝30.

2

化简得：4t－82t＋7＝0，

7

∴t1＋t2＝22，t1·t2＝.

4

从而|t1－t2|＝

t1＋t2

2－4t1t2＝1.

14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？

解 如图所示，连结A1B2， 由已知A2B2＝102，

20

A1A2＝302×＝102，∴A1A2＝A2B2，

60

又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝102.

由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，

在△A1B2B1中，由余弦定理，

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22

B1B22＝A1B1＋A1B2－2A1B1·A1B2·cos 45°

＝20＋(102)－2×20×102×＝200.

∴B1B2＝102.

因此，乙船速度的大小为 102

×60＝302(海里/小时)． 20

22

2 2

答 乙船每小时航行302海里．

1．解三角形应用问题的基本思路是：

画图解三角形检验

实际问题――→数学问题――→数学问题的解――→实际问题的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．

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