2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案

c542

∴sin C＝sin B＝×＝. b4252

∵c

13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )

ππ

A．0

62

ππππC.

解析 方法一 (应用正弦定理)

ABBC12∵＝，∴＝ sin Csin Asin Csin A1

∴sin C＝sin A，∵0

21

∴0

2

∵AB

π

∴0

6

方法二 (应用数形结合)

如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆， 则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，

π

当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝，

6

π

∴0

6

32

14．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝ac且cos B＝.

4

11

(1)求＋的值；

tan Atan C（2）设BA·BC =

3，求a+c的值. 237?3?2

解 (1)由cos B＝，得sin B＝1－??＝.

4?4?4

2

2

由b＝ac及正弦定理得sin B＝sin Asin C.

11cos Acos C于是＋＝＋

tan Atan Csin Asin Csin Ccos A＋cos Csin AA＋C＝＝ 2

sin Asin Csin B＝

sin B147＝＝. 2

sin Bsin B7

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(2)由BA·BC =

33得ca·cosB = 2232

由cos B＝，可得ca＝2，即b＝2.

4

222

由余弦定理：b＝a＋c－2ac·cos B，

222

得a＋c＝b＋2ac·cos B＝5，

222

∴(a＋c)＝a＋c＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.

1．解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表： 已知条件 应用定理 一般解法 由A＋B＋C＝180°，求角A； 一边和两角 由正弦定理求出b与c.在有 正弦定理 (如a，B，C) 解时只有一解． 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再两边和夹角 余弦定理 由A＋B＋C＝180°求出另一 (如a，b，C) 正弦定理 角．在有解时只有一解． 由余弦定理求出角A、B；再三边 余弦定理 利用A＋B＋C＝180°，求出 (a，b，c) 角C.在有一解时只有一解. 由正弦定理求出角B；由A＋B两边和其中一边的对角如 余弦定理 ＋C＝180°，求出角C；再利(a，b，A) 正弦定理 用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解. 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 第17页 共183页

1.2 应用举例(一)

课时目标

1．了解数学建模的思想；

2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．

1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.

3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．

一、选择题

1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( ) A．南偏西45°10′ B．南偏西44°50′ C．南偏东45°10′ D．南偏东44°50′ 答案 C

2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )

A．a km B.3a km C.2a km D．2a km 答案 B

解析 ∠ACB＝120°，AC＝BC＝a， ∴由余弦定理得AB＝3a.

3．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )

106

A．103 n mile B. n mile

3

C．52 n mile D．56 n mile 答案 D

解析 在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：＝

sin Asin BBC10∴＝ sin 60°sin 45°

解得BC＝56.

4．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( )

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BCAB

A．502 m B．503 m

252

C．252 m D. m 2

答案 A

解析 由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，

sin∠ABCsin∠ACB250×

2AC·sin∠ACB∴AB＝＝＝502 (m)．

sin∠ABC1

2

5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )

ACAB

A．20(6＋2) 海里/小时 B．20(6－2) 海里/小时 C．20(6＋3) 海里/小时 D．20(6－3) 海里/小时 答案 B

解析 由题意，

∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°. 由正弦定理得＝. sin 30°sin 105°MSsin 30°10∴MN＝＝＝10(6－2)．

sin 105°6＋2

4

则v货＝20(6－2) 海里/小时．

6．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )

15015

A. 分钟 B. 小时 77

C．21.5 分钟 D．2.15 分钟 答案 A

解析 设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km， 则∠DBC＝180°－60°＝120°. 222

∴y＝(10－4x)＋(6x)－2(10－4x)·6xcos 120°

2

＝28x－20x＋100

5?2255?2

＝28(x－x)＋100＝28?x－?－＋100

7?14?7

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