2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案

(1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理

余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．

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1．1.2 余弦定理(二)

课时目标

1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；

2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题． 1．正弦定理及其变形

(1)＝＝＝2R. sin Asin Bsin C(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.

(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

2R2R2R(4)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. 2．余弦定理及其推论

222

(1)a＝b＋c－2bccos_A.

b2＋c2－a2

(2)cos A＝. 2bc222222222

(3)在△ABC中，c＝a＋b?C为直角；c>a＋b?C为钝角；c

A＋BπC(1)A＋B＋C＝π，＝－. 222

(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C.

A＋BCA＋BC(3)sin ＝cos ，cos ＝sin . 2222

一、选择题

1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为

( )

A．60° B．90° C．120° D．150° 答案 C

解析 ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab， 222

∴a＋b－c＝－ab， a2＋b2－c21即＝－，

2ab2

1

∴cos C＝－，∴∠C＝120°.

2

2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案 C

解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即sin(A－B)＝0，∴A＝B.

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abcabc 3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )

A．30° B．60° C．90° D．120° 答案 B

解析 ∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7， 不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，

2223＋5－71

则cos C＝＝－. 2×3×52

∴C＝120°.

∴最小外角为60°.

2

4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案 D

222

解析 ∵2b＝a＋c，∴4b＝(a＋c)，即(a－c)＝0. ∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°， c＝2a，则( )

A．a>b B．a

C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定 答案 A

解析 在△ABC中，由余弦定理得， c2＝a2＋b2－2abcos 120° 22

＝a＋b＋ab.

222

∵c＝2a，∴2a＝a＋b＋ab. 2222

∴a－b＝ab>0，∴a>b，∴a>b.

6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 答案 A

222

解析 设直角三角形三边长为a，b，c，且a＋b＝c，

222

则(a＋x)＋(b＋x)－(c＋x) 222222

＝a＋b＋2x＋2(a＋b)x－c－2cx－x＝2(a＋b－c)x＋x>0， ∴c＋x所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________. 答案 19

解析 由题意：a＋b＝5，ab＝2.

222

由余弦定理得：c＝a＋b－2abcos C 2222

＝a＋b－ab＝(a＋b)－3ab＝5－3×2＝19， ∴c＝19.

8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________． 答案 2

1

解析 ∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.

2

222

∵三角形为钝角三角形，∴a＋(2a－1)<(2a＋1)， 化简得：02a＋1， ∴a>2，∴2

9．已知△ABC的面积为23，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．

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答案 12

1

解析 S△ABC＝AB·AC·sin A

2

1

＝AB·AC·sin 60°＝23， 2

222

∴AB·AC＝8，BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos A

222

＝AB＋AC－AB·AC＝(AB＋AC)－3AB·AC，

22

∴(AB＋AC)＝BC＋3AB·AC＝49， ∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.

10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则△ABC外接圆的面积是________．

13π答案 313

解析 S△ABC＝bcsin A＝c＝3，

24

∴c＝4，

222

由余弦定理：a＝b＋c－2bccos A 22

＝1＋4－2×1×4cos 60°＝13， ∴a＝13.

a13239

∴2R＝＝＝，

sin A33

2

3913π2

.∴S外接圆＝πR＝. 33

三、解答题

a2－b2

11．在△ABC中，求证：2＝∴R＝A－B.

csin Csin Acos B－cos Asin Bsin Asin B证明 右边＝＝·cos B－·cos A

sin Csin Csin Caa2＋c2－b2bb2＋c2－a2a2＋c2－b2b2＋c2－a2a2－b2＝·－·＝－＝2＝左边． 22

c2acc2bc2c2cca2－b2A－B所以2＝.

csin C12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB =且AB·BC＝－21. (1)求△ABC的面积； (2)若a＝7，求角C.

3， 5AB·BC＝－21，∴BA·BC=21.

∴BA·BC = |BA|·|BC|·cosB = accosB = 21.

34∴ac=35，∵cosB = ，∴sinB = .

55114∴S△ABC = acsinB = ×35× = 14.

225解 （1）∵

(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.

222

由余弦定理得，b＝a＋c－2accos B＝32， ∴b＝42.由正弦定理：＝.

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