2018届广东省中山市高三第一学期期末统一考试文科数学

x

f?(x) f(x)

(0，lnk)

lnk

(lnk，??)

?

单调递减

0

极小值

?

单调递增

由此可得，在[0，??)上，f(x)≥f(lnk)?k?klnk．

，?1?k?e． 依题意，k?klnk?0，又k?1综合①，②得，实数k的取值范围是0?k?e． ……………………（7分） （Ⅱ）?F(x)?f(x)?f(?x)?ex?e?x?0，

?lnF(x1)?lnF(x2)?ln[(ex1?e?x1)(ex2?e?x2)]

又(e1?ex?x1)(ex2?e?x2)?ex1?x2?e?(x1?x2)?ex1?x2?e?x1?x2?ex1?x2?e?(x1?x2)?2?ex1?x2?2，

…………………………………………………………………（10分）

?lnF(1)?lnF(n)?ln(en?1?2)，

lnF(2)?lnF(n?1)?ln(en?1?2) ??……………………………………………（12分）

lnF(n)?lnF(1)?ln(en?1?2).由此得:

2[F(1)?F(2)???F(n)]?[F(1)?F(n)]?[F(2)?F(n?1)]???[F(n)?F(1)]?nln(en?1?2)lnF(1)?lnF(2)???lnF(n)?

故

nln(en?1?2)，n?N?成立. …………………（14分） 2220．已知函数f(x)??x??x，g(x)??x?lnx，h(x)?f(x)?g(x)，其中??R，且??0.

⑴当???1时，求函数g(x)的最大值； ⑵求函数h(x)的单调区间；

f(x),x?0,⑶设函数?(x)??若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（t?x），使得?'(x)??'(t)??g(x),x?0.成立，求实数?的取值范围.

解：⑴当???1时，g(x)?lnx?x,(x?0) ∴g?(x)?1?1?1?x,(x?0)

xx令g?(x)?0，则x?1， ∴g(x)?lnx?x在(0, 1)上单调递增，在(1, +?)上单调递减

∴g(x)max?g(1)??1 ………………………（4分）

2⑵h(x)??x2?2?x?lnx，h'(x)?2?x?2??1?2?x?2?x?1，（x?0）

xx∴当??0时，h'(x)?0，∴函数h(x)的增区间为(0,??)，

2?(x?????2?2?????2?2?)(x?)2?2?，

x?2?2?2?当??0时，h'(x)?当x?????2?2?2?时，h'(x)?0，函数h(x)是减函数；当0?x????时，h'(x)?0，函数h(x)是

增函数。

综上得，当??0时，h(x)的增区间为(0,??)；

22当??0时，h(x)的增区间为(0,?????2?)，减区间为(?????2?,??) ………（10分）

2?2?⑶当x?0，?'(x)???1在(0,??)上是减函数，此时?'(x)的取值集合A?(?,??)；

x当x?0时，?'(x)?2?x??，

若??0时，?'(x)在(??,0)上是增函数，此时?'(x)的取值集合B?(??,?)； 若??0时，?'(x)在(??,0)上是减函数，此时?'(x)的取值集合B?(?,??)。 对任意给定的非零实数x，

①当x?0时，∵?'(x)在(0,??)上是减函数，则在(0,??)上不存在实数t（t?x），使得

?'(x)??'(t)，则t?(??,0)，要在(??,0)上存在非零实数t（t?x），使得?'(x)??'(t)成立，必定有A?B，∴??0；

②当x?0时，?'(x)?2?x??在(??,0)时是单调函数，则t?(0,??)，要在(0,??)上存在非零实数t（t?x），使得?'(x)??'(t)成立，必定有B?A，∴??0。

综上得，实数?的取值范围为(??,0)。 ……………（14分）