2017年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案

20. （12分）

x2?y2?1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2?????????满足NP?2NM.

(1) 求点P的轨迹方程；

????????(2) 设点Q在直线x=-3上，且OP?PQ?1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦

点F. 21.（12分）

已知函数f(x)?ax3?ax?xlnx,且f(x)?0. （1）求a；

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e?2?f(x0)?2?3.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为(2,?3)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a?0,b?0,a?b?2，证明： （1）(a?b)(a?b)?4； （2）a?b?2．

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绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案

一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题

13. 1.96 14. 1 15. 三、解答题 17.解：

（1）由题设及A?B?C??得sinB?8sin22n 16. 6 n?1?2，故

sinB?（41-cosB）

上式两边平方，整理得 17cosB-32cosB+15=0 解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=215 1715814得sinB?，故S?ABC?acsinB?ac 171721717又S?ABC=2，则ac?

2由余弦定理及a?c?6得

b2?a2?c2?2accosB2?（a+c）?2ac(1?cosB) 1715?36?2??(1?)217?4所以b=2 18.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg” ，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”

?由题意知 P?A??P?B?C?P?B?P?

C旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 （0.040?0.034?0.024?0.014?0.012）?5=0.62

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故P?B?的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

（0.068?0.046?0.010?0.008）?5=0.66

故P?C?的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.62?0.66?0.4092

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量?50kg 旧养殖法 新养殖法 K?2箱产量≥50kg 38 66 62 34 2200??62?66?34?38?100?100?96?104?15.705

由于15.705?6.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

?0.004?0.020?0.044??5?0.34?0.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

?0.004?0.020?0.044+0.068??5?0.68?0.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

50+0.5-0.34． ≈52.35（kg）0.06819.解：

（1）取PA中点F，连结EF，BF．

因为E为PD的中点，所以EF?AD,EF=又BC?1AD,由?BAD??ABC?90?得BC∥AD，21AD 2所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形， CE∥BF． 又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB （2）

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