2018-2019学年江苏省无锡市崇安区、梁溪区九年级(上)期末数学试卷

（2）若tan∠OED＝，求该二次函数的函数表达式．

【分析】（1）如图1，作辅助线，先求得C和D的坐标，根据S△AOD＝2S△AOE，得根据△AOD∽△AHE得：AH＝，EH＝﹣，可得点E的坐标； （2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，由三角函数定义可得：∽△EAH，得MN＝AH＝，AN＝EH＝﹣，根据tan∠EOH＝可得c的值，利用待定系数法可得结论．

【解答】解：（1）如图1，过E作EH⊥x轴于H， 当x＝0时，y＝c， ∴C（0，c）， ∵点D为OC的中点， ∴D（0，）， ∵S△AOD＝2S△AOE， ∴

，

，证明△AMN＝

，列方程

，

∵EH∥OD ∴△AOD∽△AHE ∴

＝2

∴AH＝，EH＝﹣， ∴E（，﹣）；

（2）如图2，作AM⊥AE，MN⊥OA，垂足分别为A、N， ∵tan∠OEA＝，

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∴，

∵∠EAM＝∠ANM＝∠EHA＝90°， ∴∠MAN+∠EAH＝∠MAN+∠AMN， ∴∠EAH＝∠AMN， ∴△AMN∽△EAH， ∴

＝

∴MN＝AH＝，AN＝EH＝﹣， ∴ON＝1+， ∵tan∠EOH＝

＝

，

＝，

∴c2+8c+12＝0， c＝﹣2或﹣6，

当c＝﹣2时，E（，），A（1，0），c（0，﹣2），则，解得：，

∴函数表达式为：y＝﹣x﹣2，

当c＝﹣6时，E（，），A（1，0），c（0，﹣6），则，解得：，

∴函数表达式为：y＝﹣2x2+8x﹣6； 故解得函数表达式为：y＝﹣

x﹣2或y＝﹣2x2+8x﹣6．

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【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、三角函数和三角形相似的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．

28．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上，△EFG为等边三角形

（1）如图1，当FG∥BC时，求AE的长； （2）当AE＝时，求∠DGE的正切值；

（3）如图2，设AE长为x，△EFG的面积为S，求S与x的函数表达式，并直接写出x

的取值范围．

【分析】（1）根据题意可证四边形FGCB是矩形，可得FG＝BC＝1，根据等边三角形性质和直角三角形的性质可得AE的长；

（2）延长CD，FE交于点H，过点H作HM⊥CE于点M，由题意可证△AEF∽△DEH，可得EF＝2EH，根据直角三角形的性质可得ME＝EH，HM＝MC＝EC+ME＝HE，即可求∠DGE的正切值；

（3）延长CD，FE交于点H，过点H作HM⊥CE于点M，设AE＝x，DE＝1﹣x，根据相似三角形性质和勾股定理可得DG的长，根据等边三角形的面积公式可求S与x的函数表达式．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B＝∠C＝90° ∵FG∥BC

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ME＝HE，

∴∠GFB＝∠FGC＝90°， ∴四边形FGCB是矩形， ∴FG＝BC＝1

∴△EFG是等边三角形 ∴EF＝FG＝1，∠EFG＝60° ∴∠AFE＝30° ∴AE＝EF＝

（2）如图，延长CD，FE交于点H，过点H作HM⊥CE于点M，

∵AE＝，AD＝1， ∴DE＝ ∵AB∥CD ∴△AEF∽△DEH ∴

∴EF＝2EH

∵∠FEG＝∠HEM＝60° ∴ME＝EH，HM＝

ME＝

HE，

∴MC＝EC+ME＝HE， ∴tan∠EGD＝

（3）如图，延长CD，FE交于点H，过点H作HM⊥CE于点M，

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