人教版高中不等式复习讲义（含标准答案-超经典！）

复习――不等式的基本知识参考答案

高中数学必修内容练习---不等式

1. 2. 3.

②③⑥⑦⑧；

p?q；

当0?x?1或x?44时，1+logx3＞2logx2；当1?x?时，1+logx3＜2logx2；当33x?4.

∵a4时，1+logx3＝2logx2 3?b?1 ∴

lga?0,lgb?0Q?1（lga?lgb)?lga?lgb?p 2a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q ∴R>Q>P。

22

5. 6. 7.

{x|x?1或x??2}；

； (?1,1)U(2,3)）不等式ax28. 9.

?bx?12?0的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=___-6____, b=__6_____

(??,?1)?(2,??)）.

10. 解：当a＝0时，不等式的解集为xx?1； 2分

当a≠0时，a(x－

??11)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0

aa??1??； ............................................................................... 6分 a?不等式的解集为?xx?1或x?当0＜a＜1时，1＜

11??，不等式的解集为?x1?x??； ............................................. 8分

a?a?1?1?当a＞1时，＜1，不等式的解集为?x?x?1?； .................................................. 10分

a?a?当a＝1时，不等式的解为φ． ............................................................................................ 12分

11. _____0≤x＜4________ 12. 13.

m??1） 2m????,16?

13 / 16

14. 解：（1）y＝3x 2＋

1

≥22x 21

3x 2· 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

2x1

x· ＝2；

x

1

x· =－2

x

1

（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2

x

11

当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2

xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

15. （1）解Qx?当且仅当5?4x511??,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1 44x?55?4x???1，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。

5?4x

（2）

当

16. 解析一：

，即x＝2时取等号 当x＝2时，

y?x(8?2x)的最大值为8。

当

,即

时,

y?2（x?1)?4?5?9（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 x?1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt当

,即t=

时,

y?2t?4?5?9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 tx2?4?1?t?(t?2)

tx2?4117. 解：令2xx?4?t(t?2)，则y??5?x2?4211?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。

tt15因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?。

t2因t所以，所求函数的值域为

?5?,???。 ??2?18. （条件不等式） （1） 当3a解： 3a和3b都是正数，3a?3b≥23a?3b?23a?b?6

?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是

14 / 16

6．

（2）

解：Q?19?y9x19x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy当且仅当

19y9x?1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?16 ?时，上式等号成立，又?xyxy解：x1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2· ＝2 x·

2

1y 2 ＋ 22

（3）

下面将x，

1y 2

＋ 分别看成两个因式： 22x 2＋(

1y 22y 21 ＋ )x 2＋ ＋ 22223

＝ ＝ 即x1＋y 2 ＝2 ·x

224

x·

1y 2

＋ ≤221y 23 ＋ ≤ 224

2

（4）

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

解：法一：a＝ ， ab＝ ·b＝

b＋1b＋1b＋1

由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2

ttt ∴ ab≤18 ∴ y≥

1

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 18

t·16

＝8 t

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab 令u＝ab 则u＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32 1

∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥

1819. 已知

2

a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2?b2?c2?ab?bc?ca

20. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 21. 已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求证：???1??1??1??1???1???1??8 ?a??b??c?。同理

证明：Qa、b、c?R，a?b?c?1。??11?ab?c2bc?1???aaaa12ac?1?bb，

12ab。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 ?1?cc1?1??1??1?2bc2ac2ab。当且仅当时取等号。 a?b?c??1?1?1?gg?8??????3abc?a??b??c?22. 解： 若设污水池长为x米，则宽为

水池外圈周壁长：

（米）

15 / 16 （米）

中间隔墙长： （米）

池底面积：200（米2）

目标函数：

≥ 23. 4

(?3,?24. 25. 1 26.

1) 2

1(,??) 。 227. 5

解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元

则x，y必须满足 目标函数为z＝15x＋10y

，

在可行区內的顶点附近z＝f ( x，y ) 的最大值，

所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。

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