数值计算方法思考题

(x)，则n越大Ln(x)越接近f (x).

（5）同上题，若构造三次样条插值函数Sn (x)，则n越大得到的三次样条函数Sn (x)越接近f (x).

（6）高次拉格朗日插值是很常用的。 （7）函数f (x)的牛顿插值多项式Pn (x)，如果f (x)的各阶导数均存在，则当xi ?x0 (i= 1, 2,…, n ) 时，Pn (x)就是f (x)在x0点的泰勒多项式。

12．为更好地保持被逼近函数的凸性，你选择下述哪种方法： （a）Lagrange插值多项式； （b）3次样条插值函数； （c）3次Hermite插值函数。

13．数据量特别大时，你选择下述哪种方法： （a）Lagrange插值多项式； （b）3次Hermite插值函数； （c）3次样条插值函数； （d）最小二乘拟合。

第七章 函数逼近

1．f , g ?C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{? 0, ? 1, …, ? n}?C [a , b]在[a ,b]上线性无关？ 2．什么是函数f ?C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式？

3．什么是f 在[a , b] 上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据?fi?0的最小二乘曲线

m拟合？ 4．什么是[ a , b ]上带权? (x)的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？

5．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？

6．用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？

7．什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时为什么不直接求解法方程？

8．计算有理分式Rmn (x)为什么要化为连分式？

9．哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？ 12．判断下列命题是否正确？

（1）任何f (x) ?C [a , b]都能找到n次多项式Pn (x) ? Hn，使| f (x) - Pn (x) | ? ? ( ? 为任给的误差限)。

*（2）Pn(x)?Hn是f (x)在[ a , b]上的最佳一致逼近多项式，则limPn(x)?f(x)对

*n???x?[a,b]成立。

（3）f (x) ?C [a , b]在[a , b]上的最佳平方逼近多项式Pn (x) ? Hn则limPn(x)?f(x)。

n??（4）Pn(x)是首项系数为1的勒让德多项式，Qn (x) ? Hn是任一首项系数为1的多项式，

~则

?1?1~[Pn(x)]2dx??1?12Qn(x)dx。

（5）Tn(x)是[-1 , 1]上首项系数为1的切比雪夫多项式。Qn (x) ? Hn是任一首项系数为1的多项式，则

?1?x?1~~maxTn(x)?maxQn(x).

?1?x?1（7）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。

第八章 数值积分

1．给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。

2．什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？ 3．对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法。

4．什么是牛顿-柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？ 5．什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？ 6．什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式。

7．给出复合辛普森公式及其余项表达式。如何估计它的截断误差？ 8．什么是龙贝格求积？它有什么优点？ 9．什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为何称它是具有最高代数精确度的求积公式？

10．牛顿-柯特斯求积和高斯求积的节点分布有什么不同？对同样数目的节点，两种求积方法哪个更精确？为什么？

11．描述自动求积的一般步骤。怎样得到所需的误差估计？ 12．判断如下命题是否正确：

（1）如果被积函数在区间[a , b ]上连续，则它的黎曼（Riemann）积分一定存在。 （2）数值求积公式计算总是稳定的。

（3）代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。

（4）n + 1个点的插值型求积公式的代数精确度至少是n次，最多可达到2n + 1次。 （5）高斯求积公式只能计算区间[-1, 1]上的积分。

（6）求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。 （7）梯形公式与两点高斯公式精度一样。

（8）高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。

（9）由于龙贝格求积节点与牛顿-柯特斯求积节点相同，因此它们的精度相同。 （10）阶数不同的高斯求积公式没有公共节点。 13．用n个点的Newton-Cotes方法计算函数

f(x)?1

1?25x2 区间[-1, 1]上的积分，点数n增加时，计算的精度是否会提高？

第九章 常微分方程数值解

1．判断如下命题是否正确： （a）常微分方程初值问题的解，当右端函数可导时一定存在唯一解；

（b）一个算法局部截断误差的阶就等于它全局误差的阶； （c）算法的阶越高，由它得到的数值计算结果就越精确；

（d）显式方法的突出优点是收敛速度快，收敛阶高； （e）一个好的算法，或者稳定性好，或者收敛阶高；

（f）隐式方法的优点是计算稳定性好，缺点是每步计算的代价高； 2．多步法的算法为什么还要使用单步方法？

3．多步法与经典的Runge-Kutta方法相比，在下面的性质上谁更有优势： （a）局部截断误差容易分析；

（b）易于改变步长； （c）计算容易启动； （d）易于程序实现；