固体物理13年复习题考试重点1

?18NAr082

r018NA2NA2NANA2NA2 所以K??????8632B9V0r0V0BNr0BV0r0V0AA22BB2BBA9通常用雷纳德——琼斯势描述惰性气体分子晶体原子间相互作用势，如下式

u(x)????12???6??4?????4???，式中?,?称雷纳德——琼斯参数，试求

?x?????x?????6?12?6?即?6?2?0 得x0?6 ?4???1213?247??0，

x02x0x0?????????x????0126???????4????8???x????0???A2A

?u(x)（1）原子间的平均间距x0； ①

?xx0（2）单个原子的结合能

11w； ②结合能(单原子的) w?u(x0)?4?22

?12?13?1224?7?6?d2ud2u（3）线性弹性模量K?x0(2). ③线性弹性模量K?x0(2)?x04???? ，148dxxdxxxx??00??00因为x0?6?2，

1266???????d2u4??4?2???24?7????288?所以K?x0(2)???12?13??1152????dxxx0?x0??x0??x0??0??10.初级晶胞中含有两个原子的一维点阵,点阵常数为a,两个原子的质量分别为M1和M2,只计

?入最近邻原子间的相互作用,设力常数为C, 求其2N个格波解。并试求在k?0和k?处的

a?(k).(备注M1?M2)

解：对于一维双原子链，设第2n个原子质量为M1，第2n?1个原子质量为M2，如图： 对

于

M1

：

??2n?C(?2n?1??2n?1?2?2n) M1?①

??2n?1?C(?2n?2??2n?2?2n?1) ② 对于M2： M2? 设试探解：?2n?Aei(?t?2naq),

?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]

代入①, ②化简得： (M1?2?2C)A?(2Ccoaqs)B?0 (2Ccosaq)A?(M2?2?2C)B?0 有非零解的条件是：

M1?2?2C2Ccosaq12Ccosaq?0M2?2?2C 解得 ：

C22??[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1co2saq)2]

M1M22?

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q?0时,??2max2C(M1?M2)C22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]?， M2M1M2M1C22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]?0 M2M1?2min11??2min

1q???2时，?2CM1C2C22， ?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]??M2M1M2M1M21 ?

?2max2CM22CC22 ?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]??M2M1M2M1M111.应用德拜模型，计算一维情况下晶格振动的状态密度、德拜温度、晶格比热容。

解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系

??vpq ????????（1）

（1）在一维情况下，晶格振动的状态密度为 ?(?)?L1L??2??（2） d?2??vpdq上式中，L表示一维晶格的总长度。

?m又由关系式 ??(?)d??N ????????（3）

0?m将式（3）代入式（2）可得

?NvpL??，由此求得 d??Nm?L?vp0??m??Nvp于是德拜温度?D? ?kBkBL晶体的比热容为cV??x???） kBT?m2kBTL??2e??/(kBT)L?kB()?d???vpkBT(e??/(kBT)?1)2?vp??m/(kBT)0?0x2exdx （其中x2(e?1)12.若格波的色散关系为??cq2和???0?cq2，试导出它们的状态密度表达式。

解：根据状态密度的定义式可知

?n ????????（1）

???0??其中?n表示在??????间隔内晶格振动模式的数目。

?(?)?lim如果在q空间中，根据?(q)?const作出等频率面，那么在等频率面?和????之间的振动模式的

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数目就是?n。由于晶格振动模在q空间分布是均匀的，密度为V/(2?)3（V为晶体体积），因此有

?n?V ?（频率为?和?＋??的等频率面间的体积）3(2?)????V?(2?)3dSdq ????????（2） ??dS ????????（2）

?q?(q)将（2）式代入（1）式可得到状态密度的一般表达式为

?(?)?V(2?)3?（3）式中?q?(q)表示沿法线方向频率的改变率。 当??cq2时，将之代入（3）式可得

?(?)?V1V1V11/22?dS??4?q??? 3323/2?(2?)?q?(q)(2?)2cq(2?)c当???0?cq2，将之代入（3）式可得

?(?)?V1V1V12?dS??4?q??(?0??)1/2 3323/2?(2?)?q?(q)(2?)2cq(2?)c13.考虑一双原子链的晶格振动，链最近邻原子间的力常数交错地等于c和10c,令两种原子

?质量相等,并且最近邻的间距是a2,试求在k?0和k?处的?(k)．

a解：设原子质量为m力常数为c和c??10c 如图所示：

?2n?c(x2n?1?x2n)?c?(x2n_x2n?1)x?m? 振动方程 ?

???mx?c(x?x)?c(x?x)2n?22n?12n?12n?2n?1a?i(?t?2nq)?2?x2n?Ae试探解： ?a ?i[?t?q(2n?1)]2?x?2n?1?Be将上式与 c'?10c代入振动方程得：

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aqaq?i?i??222??B?0?11c??mA??10ce?ce???? ?aqaqi?i????ce2?10ce2?A?11c??2mB?0??????????有非零解的条件是：

解得：

?11c??m?210ceiaq2?ce2?iaq2ceiaq2?10ce?iaq2?11c??m?1?0

12 ???[10c?(101c2?20ccoaqs)2]

m?? q?0时 ?max222?c ?mm2in?0

202?2c ?max?c

2mm

q?????时 ?min2

14.初级晶胞中含有两个原子的一维点阵,点阵常数为a,两个原子的质量分别为M1和M2,只计

?入最近邻原子间的相互作用,设力常数为C, 求其2N个格波解。并试求在k?0和k?处的

a?(k).(备注M1?M2)

解：对于一维双原子链，设第2n个原子质量为M1，第

2n?1个原子质量为M2，如图：

对于①

??2n?1?C(?2n?2??2n?2?2n?1) ② 对于M2： M2???2n?C(?2n?1??2n?1?2?2n) M1： M1? 设试探解：?2n?Aei(?t?2naq), ?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]

代入①, ②化简得： (M1?2?2C)A?(2Ccoaqs)B?0 (2Ccosaq)A?(M2?2?2C)B?0 有非零解的条件是：

M1?2?2C2Ccosaq12Ccosaq?0M2?2?2C 解得 ：

C22??[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1co2saq)2]

M1M22?

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