备战中考数学压轴题专题复习—平行四边形的综合附答案解析

∵∠EAF=∠BAD， ∴∠1+∠2=∠BAD， ∴∠2+∠3=∠BAD， ∴∠EAF=∠E′AF， 在△AEF和△AE′F中

，

∴△AEF≌△AE′F（SAS）， ∴EF=E′F，

∴EF=DE′+DF=BE+DF；

归纳：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF． 考点：四边形综合题．

10．如图1，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．

（1）过D作DHAB,垂足为H，若DH=

FP；

，BE=AB,求DG的长；

（2）连接CP，求证：CP

（3）如图2，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出【解析】

试题分析：（1）根据菱形得出DA∥BC，CD=CB，∠CDG=∠CBA=60°，则

∠DAH=∠ABC=60°，根据DH⊥AB得出∠DHA=90°，根据Rt△ADH的正弦值得出AD的长

的值；若不成立，请说明理由．

．

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）

度，然后得出BE的长度，然后证明△PDG≌△PEF，得出DG=EF，根据EF∥AD，AD∥BC得出EF∥BC，则说明△BEF为正三角形，从而得出DG的长度；（2）连接CG、CF，根据△PDG≌△PEF得出PG=PF，然后证明△CDG≌△CBF，从而得到CG=CF，根据PG=PF得出垂直；（3）过D作EF的平行线，交FP延长于点G，连接CG、CF证△PEF≌△PDG，然后证明△CDG≌△CBF，从而得出∠GCE=120°，根据Rt△CPF求出比值．

试题解析：（1）解：∵四边形ABCD为菱形 ∴DA∥BC CD=\∠CDG=∠CBA=60° ∴∠DAH=∠ABC=60°

∵DH⊥AB ∴∠DHA=90° 在Rt△ADH中 sin∠DAH=

∴AD=

∴BE=AB=

×4=1 ∵EF∥AD ∴∠PDG=∠PEB ∵P为DE的中点 ∴PD=PE

∵∠DPG=∠EPF ∴△PDG≌△PEF ∴DG=EF ∵EF∥AD AD∥BC ∴EF∥BC ∴∠FEB=∠CBA=60° ∵BE=EF ∴△BEF为正三角形 ∴EF=BE=1 ∴DG=EF=1 、证明：连接CG、CF

由（1）知 △PDG≌△PEF ∴PG=PF

在△CDG与△CBF中 易证：∠CDG=∠CBF=60° CD=CB BF=EF=DG ∴△CDG≌△CBF ∴CG=CF ∵PG=PF ∴CP⊥GF （3）如图：CP⊥GF仍成立

理由如下：过D作EF的平行线，交FP延长于点G

连接CG、CF证△PEF≌△PDG ∴DG=EF=BF ∵DG∥EF ∴∠GDP=∠EFP ∵DA∥BC ∴∠ADP=∠PEC

∴∠GDP－∠ADP=∠EFP－∠PEC ∴∠GDA=∠BEF=60° ∴∠CDG=∠ADC+∠GDA=120° ∵∠CBF=180°－∠EBF=120° ∴∠CBF=∠CDG ∵CD=BC DG=BF ∴△CDG≌△CBF

∴CG=CF ∠DCG=∠FCE ∵PG=PF ∴CP⊥PF ∠GCP=∠FCP

∵∠DCP=180－∠ABC=120° ∴∠DCG+∠GCE=120° ∴∠FCE+∠GCE=120° 即∠GCE=120° ∴∠FCP=∠GCE=60° 在Rt△CPF中 tan∠FCP=tan60°=考点：三角形全等的证明与性质．

=