2020届高考数学(文)课标版二轮习题：专题二第2讲 数列通项与求和 含解析

高三数学专题复习

第2讲 数列通项与求和

一、选择题

1.(2019武昌调研)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-1,则a1+a3+a5+a7+a9=( ) A.40

B.44

C.45

D.49

答案 B 解法一:因为Sn=n2-1,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-1-(n-1)2+1=2n-1,又a1=S1=0,所以0,??=1,an={所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17=44.故选B.

2??-1,??≥2.

解法二:因为Sn=n2-1,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-1-(n-1)2+1=2n-1,又a1=S1=0,所以0,??=1,an={所以{an}从第二项起是等差数列,a2=3,公差d=2,所以

2??-1,??≥2,a1+a3+a5+a7+a9=0+4a6=4×(2×6-1)=44,故选B.

2.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),a1=1,a2=2,Sn为数列{an}的前n项和,则S2018=( ) A.3 B.2 C.1 D.0

答案 A ∵an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),a1=1,a2=2,

∴a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,……,故数列{an}是周期为6的周期数列,且每连续6项的和为0,故S2018=336×0+a2017+a2018=a1+a2=3.故选A.

3.(2019洛阳尖子生第二次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( ) A.2 B.(2)

n-1

3??-1

????+13????

C.(3)

2??-1

D.(2)

1??-1

答案 B 解法一:Sn=2an+1=2Sn+1-2Sn?3Sn=2Sn+1?又S1=1,所以Sn=1×(2)3??-1

=2,故数列{Sn}为等比数列,公比是2,

3

=(2)3??-1

.故选B.

1

13

解法二:当n=1时,S1=a1=2a2,则a2=2,所以S2=1+2=2,结合选项可得只有B满足,故选B. 4.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为( )

1

高三数学专题复习

A.3690 B.3660 C.1845 D.1830

答案 D 不妨令a1=1,则a2=2,a3=a5=a7=…=1,a4=6,a6=10,……,所以当n为奇数时,an=1;当n为偶数时,构成以a2=2为首项,4为公差的等差数列,所以{an}的前60项和为S60=30+2×30+

30×(30-1)

2

×4=1830.

5.(2018河南郑州质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且an+2-2an+1+an=0(n∈N*),记Tn=??+??+…+??(n∈N*),则T2018=( )

1

2

??

111

A.2018 B.2018 C.2019 D.2019

答案 C 由an+2-2an+1+an=0(n∈N*),可得an+2+an=2an+1,所以数列{an}是首项为1,公差d=a2-a1=2-1=1的等差数列,通项公式为an=a1+(n-1)·d=1+n-1=n,则其前n项和Sn=

1

??(??1+????)??(??+1)

214036

2018

40342017

=

21

,所以??=??(??+1)=2×(??-??+1),Tn=??+??+…+??=2×(1-2+2-3+…+

??

1

2

??

12111111111

????+1

-)=2(1-

??+1

)=

2??

??+1

,故T2018=

2×201840362018+12019

=,故选C.

6.已知在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( ) A.445 B.765 C.1080 D.3105

答案 B ∵an+1=an+3,∴an+1-an=3. ∴{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列. ∴an=-60+3(n-1)=3n-63. 令an≤0,得n≤21.

∴{an}的前20项都为负值. ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30| =-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30 =-2S20+S30.

2

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??1+????

2

-123+3??

2

∵Sn=n=×n,

∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765. 二、填空题

7.已知在数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,当n≥2时,有??S2017= . 答案

11009

2????

2??????-????

=1成立,则

2????

??????

解析 当n≥2时,由??2

=1得2(S=1,又??=2,∴{??}是n-Sn-1)=(Sn-Sn-1)·Sn-????=-SnSn-1,∴-2-??????

??

??

??-1

1

??

2222

以2为首项,1为公差的等差数列,∴??=n+1,故Sn=??+1,则S2017=1009.

??

221

8.设数列{an}满足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)·an+1(n≥2),则a20的值是 . 答案

245

解析 ∵2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2),

∴数列{nan}是以1为首项,2a2-a1=5为公差的等差数列, ∴20a20=1+5×19=96,∴a20=5.

9.(2019东北四市联合体模拟(一))已知在数列{an}中,a1=2,an+1=??+2??(n∈N),则∑

??

24

(??+1)????

*

??

??????

??=1

=

. 答案 n2-2n

解析 由题意可知nan+1+2anan+1=(n+1)an,两边同除以anan+1,得??为首项,2为公差的等差数列,所以∑

??

????

??=1??

??+1??

??+1

1

-??=2,又??=2,所以{??}是以2

??

1

??

11??1

=2n+2n(n-1)×2=n2-2n.

1

111

10.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+an+1=2??(n=1,2,3,…),则S2n+3= . 答案

4

(1-4??+2)

3

1-??+241

S2n+3=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2n+2+a2n+3)=1+4+16+…+4??+1=41=3(1-4??+2).

1-1

1

1

41

1

解析 依题意得三、解答题

3

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11.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 解析 (1)设数列{an}的公差为d, 由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3. 解得a1=1,d=5.

所以{an}的通项公式为an=(2)由(1)知,bn=[

2??+35

2??+35

2

.

]. <2,bn=1;

当n=1,2,3时,1≤当n=4,5时,2<

2??+35

2??+35

<3,bn=2; <4,bn=3;

当n=6,7,8时,3≤当n=9,10时,4<

2??+355

2??+3

<5,bn=4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.

12.(2019湖南湘东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足√????=√????-1+1(n≥2,n∈N*),且a1=1.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=??

1

??·????+1

,Tn为{bn}的前n项和,求使Tn≥??成立的n的最小值.

2

解析 (1)∵√????-√????-1=1(n≥2,n∈N*),∴数列{√????}为等差数列,又√??1=√??1=1,∴√????=n,即Sn=n2.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. 又a1=1也满足上式,∴an=2n-1. (2)由(1)知,bn=(2??-1)(2??+1)=2(2??-1-2??+1), ∴Tn=2(1-3+3-5+…+2??-1-2??+1) =2(1-2??+1)=2??+1.

4

1

1

??

1

1

11

1

1

1

1

1

1