直线上一动点到两固定点之间距离的最值

直线上一动点到两固定点之间距离的最值

【题型】P点为直线L上一动点，A点、B点不在直线上，且固定。当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离之差的绝对值最大。

【引申】当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离之和最小。

【思路】下面3条原理是解决此类问题的基础：

1、所有此类问题都应纳入“三角形”中求解； （定理1） 2、运用“在同一平面之中，两点之间，线段最短。” （定理2） 3、运用“在同一平面中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。” （定理3） 【几种不同情况的详细解答及相应证明】

1、求直线上动点到直线外两固定点距离之差的绝对值的最大值 （1）当两固定点在直线同侧时，如图1

B A P” P M 图 1

M’ P’ L 假设直线上任意一点P’点，连接P’点与B点，P’点与A点，形成△P’BA，根据“定理3”，得知|P’A-P’B|

当P’点移动到P”点时，分别连接A、B两点，形成△P”BA，根据“定理3”，得知|P”A –P”B|

只有移动到P点，即BA连线的延长线与直线L的交点时，|PA-PB|=AB。

结论：当直线上一动点，与直线一侧的两固定点之间距离之差的绝对值最大时，P点位于两点连线的延长线与直线的交点处。 计算：P点的位置（或坐标）以及最大值。

如图1，过A点做直线垂直与直线L，垂足为M，过B点做直线垂直于直线L，垂足为M’ 这样， AM∥BM’

因此，在直角△PBM’中，AM/BM’=PM/PM’ 所以，PM’=PM+MM’

最终得出：PM=（AM×MM’）÷|BM’-AM|，以此确定P点的位置（或坐标）。

同样道理，PM/MM’=PA/AB

所以，最大值AB=MM’/PM×PA，根据勾股定理计算出PA后，就计算出了AB的长度。

（2）当两固定点在直线异侧时，如图2

B A’ P” P 图 2 M A 图2

M’ P’ L 对于处于直线异侧的两点，先通过其中一点A做一条垂直与直线L的直线，垂足为M，且使AM=A’M（即做A点对于直线L的对称点），将异侧问题转化为同侧问题。

然后，连接A’和B点，并延长交于直线于P点，则P点就是到A、B两点距离之差的绝对值最大时的点。

同样，在直线上任意一点P’，并连接P’A，P’B，P’A’，可以看出，

在△P’A’B中，|P’A’-P’B|

将P’点移动到P”点，并构成△P”A’B，同样道理可以得出|P”A-P”B|=|P”A’-P”B|

所以，只有将P点移动到A’B的延长线与直线L的交点处时，才能得到|PA-PB|=|PA’-PB|=A’B。

结论：当直线上一动点，与直线异侧的两固定点之间距离之差的绝对值最大时，P点位于一点与另外一点对于直线的对称点的连线的延长线与直线的交点处。

计算： P点的位置（或坐标）以及最大值。 如图2，过B点做直线垂直于直线L，垂足为M’

所以在直角△PM’B中，A’M/BM’=PM/PM’，由于PM’=PM+MM’ 所以，PM=（A’M×MM’）÷|A’M –BM’|，以此确定P点的位置（或坐标）。

同样道理，PA’/A’B=PM/MM’，所以，P点到A、B两点距离之差的绝对值最大值为A’B=PA’ ×MM’ ÷PM，根据勾股定理计算出PA’后，就计算出了A’B的长度。

【本节结论】直线上移动点到直线外两固定点之间的距离之差的绝对值，只存在最大值，不存在最小值。当两点在直线同侧时，最大值为两点连线长度；当两点在直线异侧时，最大值为一点与另一点对于直线的对称点的连线长度。

推导出：当两固定点在直线上时，动点与两定点之间的距离之差的绝对值，有且只有一个值（即常量），即两点之间的线段长。 2、求直线上动点到直线外两固定点的距离之和绝对值的最小值 （1）当两固定点在直线同侧时，如图3

B A P” M A’ 图 3

P M’ P’ L 首先，过A点做直线垂直于直线L，垂足M，并使AM=MA’ 连接A’B，AB，AB与直线L交于P点，连接AP 在直线L上任意取一点P’，连接P’B，P’A，P’A’

从图上可以直观得出，P’A=P’A’，所以，P’点到A、B点的距离之和与P’点到A’点、B点的距离之和相等，即|P’A+P’B|=|P’A’+P’B| 根据“定理3”，在△P’A’B中，P’B+P’A’>A’B，所以，P’B + P’A >A’B 同样道理，如果P’点移动到P”点，与A’、B点构成△P”A’B，P”B+P”A’>A’B，而P”A’=P”A 所以，P”B+P”A>A’B

只有当P点移动到A’、B点连线与直线L的交点处时，即P点即处于直线L上，又处于线段A’B上时，|PA’+PB|=A’B，而PA’=PA，所以，|PA+PB|=A’B

这时，P点到两定点的距离之和的绝对值才是其他所有点到两定点距离之和的绝对值中最小的。

结论：当直线上一动点到直线同侧两固定点之距离之和的绝对值最小时，P点位于固定点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的交点处。

计算：P点的位置（或坐标）以及最小值 如图3，过B点做直线垂直于直线L，垂足为M’

由于直角三角形MPA’与直角三角形BPM’，三角相等，所以，这两个三角形为相似三角形

所以，MP/PM’=MA’/BM’，且PM’=MM’-MP

所以，MP=MA’ ×MM’÷（MA+BM’ ），以此确定P点位置（或坐标）。 又因为，|PA+PB|=|PA’+PB|=A’B，且MP，PM’=MM’-MP均已计算出，运用勾股定理，分别计算出PA’、PB长度，即可确定A’B的长度，即P点到两固定点距离之和绝对值的最小值。 （2）当两固定点在直线L异侧时，如图4

B P” M A 图4

P M’ P’ L 根据上述同侧问题，我们可以看出，直接连接A、B两点与直线L的交点就是符合要求的P点，在此不再累述。

【本节结论】直线上一动点到直线外两固定点的距离之和的绝对值只存在最小值，没有最大值。当两固定点在直线同侧时，动点位于固定点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的交点处；当两固定点在直线异侧时，动点位于两固定点连线与直线的交点处。 推导出：

（1）当两固定点在直线上时，动点到两固定点的距离之和的绝对值的最小值，有且只有一个，就是两固定点之间的线段长。

（2）当两固定点在直线上时，直线上的动点到两固定点的距离之差的绝对值的最大值和距离之和的绝对值的最小值相等，即两固定点之间的线段长。