2007年高考数学试题分类汇编-圆锥曲线（ks5u高考资源网）

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（18）（本小题满分14分）

设F是抛物线G:x2=4y的焦点.

（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：

（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足FA·FB?0,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．

2?x0?x0xQx，解：（I）设切点?0?．由y??，知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线

4?22?2x0x?0(x?x0)． 方程为y?422x0x4x?． 即y?24因为点P(0，??)在切线上．

2x02所以?4??，x0?16，x0??4．

4所求切线方程为y??2x?4． （II）设A(x1，y1)，C(x2，y2)．

由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k?0． 因直线AC过焦点F(0，1)，所以直线AC的方程为y?kx?1．

点A，C的坐标满足方程组?2得x?4kx?4?0，

?y?kx?1，?x?4y，2

?x1?x2?4k，由根与系数的关系知?

xx??4.?12AC?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?4(1?k2)．

因为AC?BD，所以BD的斜率为?11，从而BD的方程为y??x?1． kk 共50页 第49页

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??1?2?4(1?k2)同理可求得BD?4?1??????． 2??k??k??SABCD18(1?k2)212?ACBD??8(k?2?)≥32． 2k2k2当k?1时，等号成立．所以，四边形ABCD面积的最小值为32．

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