2007年高考数学试题分类汇编-圆锥曲线（ks5u高考资源网）

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坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A．60条 B．66条 C．72条 D．78条 19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2?2py（p?0）相交于

A，B两点．

（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）

y C A O N B x

19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N(0，?p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的方程为y?k?x?x2?2p，y，消去y得p与x?2py联立得?x．p?y?k?2x2?2pkx?2p2?0．

由韦达定理得x1?x2?2pk，x1x2??2p2． 于是S△ABN?S△BCN?S△ACN?·2px1?x2． y 12B C A O N x ?px1?x2?p(x1?x2)?4x1x2 ?p4p2k2?8p2?2p2k2?2，

∴当k?0时，(S△ABN)min?22p2．

2（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y?a，

AC的中点为O?，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，

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则O?H?PQ，Q?点的坐标为??x1y1?p?，?． 22??y ∵O?P?1121AC?x1?(y1?p)2?y12?p2， 222B l A O?H?a?2y1?p1?2a?y1?p， 2222O?C O N ∴PH?O?P?O?H?121(y1?p2)?(2a?y1?p)2 44x p????a??y1?a(p?a)，

2????p??2∴PQ?(2PH)2?4??a??y1?a(p?a)?．

2????令a?ppp?0，得a?，此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y?， 222即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

AB?1?k2x1?x2?1?k2·(x1?x2)2?4x1x2?1?k2·4p2k2?8p2

?2p1?k2·k2?2， 又由点到直线的距离公式得d?2p1?k2．

从而S△ABN?·d·AB?·2p1?k2·k2?2·12122p1?k2?2p2k2?2，

∴当k?0时，(S△ABN)min?22p2．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y?a，则以AC为直径的圆的方程为

(x?0)(x?x1)?(y?p)(y?y1)?0，

将直线方程y?a代入得x2?x1x?(a?p)(a?y1)?0，

2则△?x1?4(a?p)(a?y1)?4??a?????p??． y?a(p?a)?1?2??设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

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则有PQ?x3?x4?令a???p??p??4??a??y1?a(p?a)??2?a??y1?a(p?a)．

2?2?????ppp?0，得a?，此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y?， 222即抛物线的通径所在的直线．

湖北文

x2y2??1左焦点F1的直线交曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，12．过双曲线

43则MF2?NF2?MN的值为______．

广东理

11．在平面直角坐标系xoy中，有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线

y2?2px(p?0)则该抛物线的方程是 ．

18． (本小题满分14分)

在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y?x相切于 x2y2?1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． 坐标原点O．椭圆2?a9 (1)求圆C的方程；

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段

OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

18. 解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与

直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

m?n2=22

即m?n=4 ①

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m2+n2=8 ②

联立方程①和②组成方程组解得

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?m??2 ?n?2?故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2)a=5，∴a2=25，则椭圆的方程为

x225+

y92=1

其焦距c=25?9=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。

124，y= 55412即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长。

55通过联立两圆的方程解得x=

广东文

11．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．y2?8x 19(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆C与直线y?x相切于

x2y2?1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． 坐标原点O．椭圆2?a9 (1)求圆C的方程；

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 19解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n)

??m??2?m??n 则 ? 解得?

n?2???n?2?22 所求的圆的方程为 (x?2)?(y?2)?8

(2) 由已知可得 2a?10 a?5

22x2y2??1 , 右焦点为 F( 4, 0) ; 椭圆的方程为

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