2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2培优阶段质量检测（三）含解析

2019-2020学年数学选修2-2课时跟踪检测（三）

几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

一、题组对点训练

对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：

?1??π?π11????①(cos x)′＝sin x；②?sin?′＝cos ；③若y＝，则y′＝－；④?－?′33x2xx????＝

12x

x . 其中正确的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

?3?

??

解析：选B 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sin ＝，而?′?32?2?

π

3

1

0－?x?′

?1??1?0－?x2?′－2x－22

???－?

＝0，所以②错误.??′＝＝＝，所以③错误.?′＝－?x4x4x3xx??x2??11

x－22x

＝

＝x－＝

222x131x

，所以④正确．

1

2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于( )

4A． B． C． D． 3284解析：选D ∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.

1

1

1

1

范文

∴f′(1)＝α＝.

4

对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y＝sin x·cos x的导数是( ) A．y′＝cos2x＋sin2x

B．y′＝cos2x－sin2x

1

C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x

解析：选B y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x. 4．函数y＝

的导数为________．

x＋3x2

?x2??x2?′?x＋3?－x2?x＋3?′2x?x＋3?－x2x2＋6x??

解析：y′＝?＝＝. ?′＝x＋3?x＋3?2?x＋3?2?x＋3?2??答案：

5．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．

?1???解析：f′(x)＝a?ln x＋x·?＝a(1＋ln x)．由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)

x??＝3， 所以a＝3.

答案：3

6．求下列函数的导数．

(1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝. sin x解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cos x－4x.

ex

x2＋6x?x＋3?2

范文

cos x

(2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′＝－sin x·ln x＋. x?ex??ex?′·sin x－ex·?sin x?′ex·sin x－ex·cos x??(3)y′＝?＝＝?′＝sin xsin2xsin2x??ex?sin x－cos x?

. sin2x

对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题

7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)， ∴切线斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x. 答案：y＝3x

π

8．若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，

2则实数a＝________.

?π?πππ??解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′??＝sin ＋cos ＝1.又直线ax

222?2??a?

??＋2y＋1＝0的斜率为－，所以根据题意得1×?－?＝－1，解得a＝2.

2?2?

a

答案：2

9．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为xy－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.

答案：1

10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在

范文

1

第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．

解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x20－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2,1)．

二、综合过关训练

1．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 019(x)＝( )

A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 解析：选D 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 019(x)＝f3(x)＝－cos x.

x21

2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )

42A．3 B．2 C．1 D． 2

x31

解析：选A 因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得

2x2x2x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．

?π?

??

3．曲线y＝－在点M?，0?处的切线的斜率为( )

sin x＋cos x2?4?

sin x

1

A．－ B． C．－ D． 2222

cos x?sin x＋cos x?－sin x?cos x－sin x?1解析：选B y′＝＝，把x

?sin x＋cos x?21＋sin 2x

1

1

2

2

x

3

1

范文