新(浙江专用)高考数学二轮专题突破 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆 理

第1讲 直线与圆

1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

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2．(2015·湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x＋y＝r(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.

3．(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x

－1)＋(y－a)＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________. 4．(2014·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x＋y＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．

考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.

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热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程

要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式

(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，

1

l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝

|C1－C2|

. A2＋B2

|Ax0＋By0＋C|

.

A2＋B2

(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝

例1 (1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( ) A．1或3 C．3或5

B．1或5 D．1或2

(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( ) 1

A．0或－ 211C．－或 22

1

B.或－6 21

D．0或

2

思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．

跟踪演练1 已知A(3,1)，B(－1,2)两点，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( ) A．y＝2x＋4 1

B．y＝x－3

2C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0

热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程

当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，特别地，当圆心在原点时，方程为x＋y＝r. 2．圆的一般方程

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x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D＋E－4F>0，表示以(－，－)为圆心，

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的圆．

2222

DED2＋E2－4F2

为半径例2 (1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( ) A．(x－2)＋(y±2)＝3 B．(x－2)＋(y±3)＝3 C．(x－2)＋(y±2)＝4

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D．(x－2)＋(y±3)＝4

(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为( ) A．(x－1)＋y＝4 B．(x＋1)＋y＝4 C．x＋(y－1)＝4 D．x＋(y＋1)＝4

思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

跟踪演练2 (1)(2015·杭州模拟)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________．

(2)已知直线l的方程是x＋y－6＝0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形(O为坐标原点)，则△OAB外接圆的方程是____________________． 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr?直线与圆相离．

(2)判别式法：设圆C：(x－a)＋(y－b)＝r，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组

??Ax＋By＋C＝0，?2??x－a＋y－b2

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22

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＝r2

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消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与

圆相离?Δ<0，直线与圆相切?Δ＝0，直线与圆相交?Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．

设圆C1：(x－a1)＋(y－b1)＝r1，圆C2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d>r1＋r2?两圆外离； (2)d＝r1＋r2?两圆外切； (3)|r1－r2|

例3 (1)已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x＋y－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是( )

3

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A．x＋y－5＝0 C．x－y－1＝0

B．x＋y－3＝0 D．x－y＋1＝0

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2

(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x＋y－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( ) A．3 B.

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C．22 D．2 2

思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．

(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．

跟踪演练3 (1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x＋y＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为( ) A．1 B.2 C．2 D．22

(2)两个圆C1：x＋y＋2ax＋a－4＝0(a∈R)与C2：x＋y－2by－1＋b＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为( ) A．－6 B．－3 C．－32 D．3

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1．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( ) A．(x±B．(x±2

3242

)＋y＝ 333212

)＋y＝ 33

324

)＝ 33321)＝ 33

2

2

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C．x＋(y±D．x＋(y±2

2．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x－2ax＋y＋a－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－2，则a的值为( ) A．1 B．－5

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