2020届江苏省南通市启东市高二下期末数学试卷（有答案）

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∴f（x）在[0，x0）上单调递减，

∴f（x）＜f（0）=0，这与f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾， 综上：a≤1． II卷

21．已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是阵A．

【考点】特征值与特征向量的计算． 【分析】先设矩阵

，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个

，求矩

特征向量及矩阵M对应的变换将点（1，0）变换为（2，3），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M． 【解答】解：设 由所以

22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是

（t为参数）．设直

． …

得，

，所以

，由

得，

，…

线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：

，

令y=0，可得M点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．

【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0． 将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：

，

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令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C的圆心坐标为（0，1）， 半径r=1，则∴

23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为

． ， ．

（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；

（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概率．（2）小李4次考核每次合格的概率依次为：

，由题意小李参加考核的次数X的

可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）． 【解答】解：（1）由题意得解得

或

，

， ，

∵他参加第一次考核合格的概率超过，即∴小李第一次参加考核就合格的概率p1=．

（2）∵小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列， 且小李第一次参加考核就合格的概率p1=， ∴小李4次考核每次合格的概率依次为：

，

由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4， P（X=1）=，

P（X=2）=（1﹣）×=

，

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P（X=3）=（1﹣）（1﹣）×=，

，

P（X=4）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×1=∴X的分布列为： X P E（X）=

1

2

=

3

．

4

24．已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值． （1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性； （2）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+

＞ln（n+1）都成立．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，求得a值，求出f（x）的表达式，从而求出函数的单调区间即可；

（2）f（x）=ln（2x+1）﹣4x2﹣2x的定义域为{x|x＞﹣1}，利用导数研究其单调性，可以推出ln（x+1）﹣x2﹣x≤0，令x=，可以得到ln（+1）＜+【解答】解：（1）函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x f′（x）=2（

﹣2x﹣1），

，利用此不等式进行放缩证明．

当x=0时，f（x）取得极值， ∴f′（0）=0 故﹣2×0﹣1=0，

解得a=1，经检验a=1符合题意， 则实数a的值为1，

∴f（x）=ln（2x+1）﹣4x2﹣2x，（x＞﹣）， f′（x）=2（

﹣2x﹣1）=

，

令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，

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∴f（x）在（﹣，0）递增，在（0，+∞）递减； （2）f（x）的定义域为{x|x＞﹣}，

由（1）得：f（x）在（﹣，0）递增，在（0，+∞）递减，

∴f（x）≤f（0），故ln（2x+1）﹣4x2﹣2x≤0（当且仅当x=0时，等号成立） 对任意正整数n，取2x=＞0得，ln（+1）＜+∴ln（

）＜

，

＞ln2+ln+ln+…+ln

=ln（n+1）．

，

故2+++…+

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