2020届江苏省南通市启东市高二下期末数学试卷(有答案)

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【解答】解：（1）∵启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学， 在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组， ∴该传媒班某同学被抽到的概率p=课外兴趣小组中男同学的人数为：30×课外兴趣小组中女同学的人数为：20×

=

．

=3人， =2人．

（2）在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验， 方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后， 再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验， 基本事件总数n=5×4=20，

∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率： p=

=．

（3）第一次做实验的同学得到的实验数据的平均数为： =（68+70+71+72+74）=71，

第一次做实验的同学得到的实验数据的方差为：

S2= [（68﹣71）2+（70﹣71）2+（71﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=4． 第二次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：

=（69+70+70+72+74）=71，

第二次做实验的同学得到的实验数据的方差为：

S'2= [（69﹣71）2+（70﹣71）2+（70﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=∵=

18．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）

（1）若函数f（x）在R上存在极值，求实数a的取值范围；

（2）若f′（1）=0，求函数f（x）在区间[﹣1，]上的最大值和最小值； （3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，求实数a的取值范围．

，S2＜S'2，∴第二次做实验的同学的实验更稳定．

．

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【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（x）=0有两个不相等的实数根，根据△＞0，求出a的范围即可；

（2）根据f′（1）=0，求出a，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可； （3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，得到f′（x）在[﹣1，]有解，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+1）（x+a）=x3+ax2+x+a， ∴f′（x）=3x2+2ax+1，

若函数f（x）在R上存在极值， 则f′（x）=0有两个不相等的实数根， ∴△=4a2﹣12＞0，解得：a＞

或a＜﹣

；

（2）f′（x）=3x2+2ax+1，若f′（1）=0， 即3+2a+1=0，解得：a=﹣2， ∴f′（x）=（3x﹣1）（x﹣1）， x∈[﹣1，]时，x﹣1＜0，

令f′（x）＞0，解得：x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞， ∴f（x）在[﹣1，）递增，在（，]递减， ∴f（x）max=f（）=

，f（x）min=f（﹣1）=﹣2；

（3）由（1）得：f′（x）=3x2+2ax+1，对称轴x=﹣， 若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性， 则f′（x）在[﹣1，]有解，而f（0）=1＞0，

∴只需或，

解得：故a＞

＜a＜3或a≥3， ．

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19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．

（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）的零点个数； （2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件： ①对?x∈R，f（x﹣2）=f（﹣x）；

②对?x∈R，0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由．

【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．

【分析】（1）将x=﹣1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数； （2）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，

由①可知函数f（x）的对称轴是x=﹣1，令最值为0，由此可知a=c； 由②知将x=1代入可求的a、c与b的值，最后验证成立即可． 【解答】解：（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c中，f（﹣1）=0， 所以a﹣b+c=0，即b=a+c；

又△=b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2， 当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点； 当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点；

（2）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=﹣1， 所以﹣

=﹣1，即b=2a；

不妨令f（x）的最值为0， 则

=0，

即b2=4ac， 所以4a2=4ac， 得出a=c；

由②知对?x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2， 不妨令x=1，可得0≤f（1）﹣1≤0， 即f（1）﹣1=0， 所以f（1）=1，

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即a+b+c=1； 由

解得a=c=，b=；

当a=c=，b=时，f（x）=x2+x+=（x+1）2，其顶点为（﹣1，0）满足条件①， 又f（x）﹣x=（x+1）2，所以对?x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x+1）2，满足条件②． 所以存在a=，b=，c=时，f（x）同时满足条件①、②．

20．已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax3﹣x2+1（a∈R）． （1）当a=0时，求f（x）的单调区间；

（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导数，构造函数g（x）=ex﹣ax﹣1，（x≥0），通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可． 【解答】解：（1）a=0时，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2+1， f′（x）=xex﹣x=x（ex﹣1）≥0， x≥0时，ex﹣1≥0，x＜0时，ex﹣1＜0， ∴f（x）在R递增；

（2）f（x）=（x﹣1）ex﹣ax3﹣x2+1，（x≥0）， f′（x）=x（ex﹣ax﹣1）， 令g（x）=ex﹣ax﹣1，（x≥0）， g′（x）=ex﹣a，

①a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增， ∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0， ∴f（x）≥f（0）=0，成立，

②当a＞1时，存在x0∈[0，+∞），使g（x0）=0，即f′（x0）=0， 当x∈[0，x0）时，f′（x）＜0，

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