函数的定义域 值域 单调性

XueHui Personalized Education Development Center 课 题 函数的定义域 值域 单调性 教学内容 一、知识点 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R； ②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. (6)两个函数之间的运算一定要在公共的定义域上进行。如h(x)?f(x)?g(x)，设f(x)的定义域为D1、g(x)的定义域为D2，那么h(x)的定义域为D1?D2 (7)复合函数定义域 （1）已知f(x)的定义域为x??a,b?,其复合函数f?g(x)?的定义域应由不等式a?g(x)?b解出 （2）若已知f[g(x)]的定义域为?a,b?,则y?f(x)的定义域为t?g(x)的值域. 例题： 1.求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）y? 学汇教育个性化发展中心

2x?3； （2）y?1； (1?2x)(x?1)(x?1)01?x（3）y?； （4）y?． x?|x|x?52.求函数y=3.求函数y?2?x?x2?x?2的定义域 1?xx?4?x?5x?62的定义域 复合函数的定义域的求法 知识改变命运，学汇成就未来。

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XueHui Personalized Education Development Center 已知函数f(x)的定义域为?a,b?,函数g(x)的定义域为?m,n?,则函数f?g(x)?的定义域为?g(x)?(a,b)，解不等式，最后结果才是. ?x?(m,n)?例题： 1.已知函数f(x)的定义域为（1，3），求函数F(x)?f(x?1)?f(2?x)的定义域 2.已知函数f(x)的定义域为（2, 5），函数g(x)的定义域为（-1,3），求函数f?g(x)?的定义域 3.已知函数f(x?1)的定义域为(1,3),求函数f(x)的定义域； 已知函数f(x?1)的定义域为(3,4),求函数f(2x?1)的定义域 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如y?x?（4）函数的单调性：特别关注y?x? 学汇教育个性化发展中心

k(k?0)型的函数） xk(k?0)的图象及性质 x（5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 函数值域的求法 （1）直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数等，其值域可通过观察直接得到。 例 ：求函数y?2x?1,x?(?2,3)，y?（2）配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一 例 求函数y?x?2x?5,x?R的值域 （3）根判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用. 例:求y?21,x?[1,2]的值域 x1的值域 2x?2x?3（4）反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 知识改变命运，学汇成就未来。

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XueHui Personalized Education Development Center 3x?4例 求函数y?值域。 5x?6y?3x?46y?4?5xy?6y?3x?4?x?5x?63?5y 学汇教育个性化发展中心

分母不等于0，即可得y?例题： 3 51. 求下列函数的值域（用区间表示）： （1）y?x?2x?3；①x?R，②x?(?1,4]，③x?(1,4] （2）y?23x?182 （3）y??x?x?2 ； （4）y?2 x?1x?4x?5（三）函数单调性 定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

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XueHui Personalized Education Development Center 律见下表： y=f(u) u=g(x) y=f(g(x) 增↗ 增↗ 增↗ 减↘ 减↘ 增↗ 减↘ 减↘ 减↘ 增↗ 学汇教育个性化发展中心

以上规律还可总结为：“同增异减” 例题 1.判断下列函数在区间?0,???的单调性 （1）y??x?4 （2）y?x?2x?4 2.求下列函数的单调区间 2（1）y?x?2x?3 （2）y?32?x2?2x?3 3.判断并证明函数f(x)?x?a(a?R,a是常数)的单调性 3f(x)?x?a在R上是增函数。证明如下 设x1,x2是R上任意两个实数，且x1?x2,则 33f(x)?f(x)?(x?a)?(x?a)1212 ?(x1?x2)(x12?x1x2?x22) 2x223x2 ?(x1?x2)[(x1?)?]24 2x223x2 ?x1?x2,?x1?x2?0,(x1?)??0 24 ?f(x)?f(x)?0,即f(x)?f(x)1212 3 ?f(x)?x?a在R上是增函数例1．(1)设函数f(x)?(2a?1)x?b是R上的减函数,则a的范围为( ) 1111 B．a? C．a?? D．a? 22222 (2)函数y?x?bx?c(x?[0,??))是单调函数的充要条件是( ) A．b?0 B．b?0 C．b?0 D．b?0 (3)已知f(x)在区间(??,??)上是减函数，a,b?R且a?b?0，则下列表达正确的是 A．a?（ ） f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)] B．f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)] C．D．f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) 提示：a?b?0可转化为a??b和b??a在利用函数单调性A．可得. 知识改变命运，学汇成就未来。

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