1-复变函数 - 图文

§1.4 解析函数

(一) 解析函数的定义

若函数f(z)在点z0 及其邻域上处处可导，称f(z) 在z0 点解析；若w=f(z)在区域B上每一点都解析，称f(z)是区域B上的解析函数。函数在某区域上可导与解析是等价的。若函数在点a不解析,则称点a是f(z)的奇点。说明:下述情况之一的点z0都是奇点:?f(z)在点z0无定义或无确定值；?f(z)在点z0不连续；?f(z)在点z0不可导；?f(z)在点z0可导,但找不到某个邻域在其内处处可导。例：证明函数f(z)?e(cosy?isiny)是复平面上的解析函数，且f?(z)?f(z).xx证明因u(x,y)?ecosy, v(x,y)?esiny有连续偏导数，故在全平面上可微，又

?u?uxx?ecosy, ??esiny,?x?y?v?vxx?esiny, ?ecosy.?x?y显然，f(z) 在全平面满足C-R 条件。故f (z) 在整个平面解析。并且

?u?vxf?(z)??i?e(cosy?isiny)?f(z).?x?x34

x例设f(z)?x?y?2xyi,问f(z)22在何处可导? 是否解析?

解记u?x?y,v?2xy.显然, 函数

u(x,y)和v(x,y)在全平面内处处可微，但?u?u?v?v?2x, ?2y, ?2y, ?2x.?x?y?x?y22只有在实轴y?0上满足Cauchy-Riemann方程,

所以f(z)在实轴上可导. 但在任何一点的邻域内都有不可导的点，因此，f(z)处处不解析.

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（二）解析函数的主要性质

梯度(gradient)矢量算符

????????i?j?k?x?y?z?f??f??f?i?j?k标量函数f (x,y,z) 的梯度：?f??x?y?z??????????i?j?k??E电势函数的梯度：????x?y?z场强等于电势的负梯度，也是电势函数的法向矢量！性质1：若f(z)=u+iv 在区域B上解析，则u(x,y)=常数与v(x,y)=常数的曲线正交；36