毕业论文--自适应均衡器算法研究5.31

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这两部分分别是误差加权平方和??n?1e(i)和正则化项??nw(n)。其中误差加

i?1n2权误差平方和与输出的数据有关，所以又可以用两个分量来表示其值，两个分量分别是期望响应d(i)与实际响应的值y(i)，最后用它们的加权误差表示，其中滤波器的实际响应可以用输入向量u(i)表示，最后误差加权平方可以表示为：

??i?1nn?ie(i)???n?id(i)?wH(n)u(i) （3-5）

i?12n2另外在正则化项中，可以用抽头权值向量w(n)来表示,如式（3-6）

??nw(n)???nwH(n)w(n) （3-6）

其中?是代表一个正实数，即是正则化的参数。正则化项可以通过平滑的作用来稳定递归最小二乘的问题[1]。??nw(n)这一项在某种程度上来说只是正则化项的近似值，之所以可以用它来表示是因为指数加权因子λ的范围是：0???1，也就是说当λ<1时?n会随着n的增大趋于零，在另一个角度上说就是随着时间的增加，正则化项对代价函数的影响会越来越小。

下面将对式（3-4）整理后变形得到一个关于输入向量u(i)和一个时间平均相关矩阵的式子。如（3-7）所示：

?(n)???n?iu(i)uH(n)???nI (3-7)

i?1n2其中用I来表示M?M的单位矩阵，可以看出，增加正则化项可以使相关矩阵在从0时刻开始计算到最后一直都是非奇异的。其中使用预加窗法，定义横向滤波器抽头输入与期望响应之间的M?1的时间平均互相关向量Z(n)为：

z(n)???n?i?(i)d?(i) （3-8）

i?1n那么最后递归最小二乘问题正则方程可以用抽头权向量表示为:

?(n)w(n)?z(n) （3-9） 下面将针对?(n),z(n)做递归计算，首先把式（3-7）整理后得到：

??n?1n?1?i? ?(n)?????u(i)uH(i)???n?1I??u(n)uH(n) （3-10）

?i?1?然后可以得出跟新抽头输入相关矩阵的递推公式：

?(n)???(n?1)?u(n)uH(n) （3-11）

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其中用?(n?1)来表示相关举证过去的值，在数据的更新过程中用u(n)uH(n)矩阵乘积来表示修正项。同样的方式整理式（3-9），得出表示抽头输入与期望响应之间的关系的更新公式是：

z(n)??z(n?1)?u(n)d?(n) （3-12）

当在计算抽头权向量的最小二乘估计时一定要对相关矩阵求逆，然而在应用于实际情况中不会这样做，是因为这种方法用时比较久，也就是说其计算的复杂度也很高，特别是在抽头系数M很高的时候。所以为了尽量快速的计算，找到了相对简便的办法就是用递归计算，当n=1,2,3...,?时计算抽头权值向量的最小二乘估计。

3.2 基于RLS算法的自适应均衡器

在计算递归最小二乘时，通常会用到矩阵求逆，那么下面简单的说下矩阵求逆。

假设A和B为两个都是M?M的矩阵，它们之间有如下关系：

A?B?1?CD?1CH （3-13）

设定D为N?M的举证，C为M?N的矩阵，所以可以将A的逆矩阵写成： A?1?B?BC(D?CHBC)?1CHB （3-14）

当相关矩阵?(n)是非奇异的时候，其可逆的。那么在计算递归最小二乘时用到上

面矩阵的求逆。首先对下面的矩阵进行设定：

A??(n)B?1???(n?1)C?u(n)D?1

根据矩阵求逆的方法可以得出相关矩阵的求逆后递归方程为：

??2??1(n?1)u(n)uH(n)??1(n?1)?1?1?1 （3-15） ?(n)???(n?1)??1H?11??u(n)?(n?1)u(n)为了方面下面的计算，把式（3-15）简化，其中令P(n)???1(n)，

??1P(n?1)u(n)，那么式（3-15）就变为： k(n)?1???1uHP(n?1)u(n) P(n)???1P(n?1)???1k(n)uH(n)P(n?1) （3-16）

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把M?M矩阵P(n)称为你相关矩阵，M?1向量k(n)称为增益向量，然后则把上式整理后可以得到k(n)可以表示为：

k(n)???1P(n?1)u(n)???1k(n)uH(n)P(n?1)u(n) ?[??1P(n?1)???1k(n)uH(n)P(n?1)]u(n) （3-17）

?P(n)u(n)因为P(n)???1(n),所以上式还可以写成

k(n)???1(n)u(n) （3-18）

那么就是说增益向量k(n)与相关矩阵?(n)和逆矩阵变化的抽头输出向量u(n)有关。那么根据上面的式子可以推出更新的抽头权向量经过n次迭代的最小二乘估计

w(n)如式（3-19）：

?w(n)???1(n)z(n)?P(n)z(n)??P(n)z(n?1)?P(n)u(n)d(n)?? （3-19）

然后把(3-19）化简得出：

w(n)?P(n?1)z(n?1)?k(n)uH(n)P(n?1)z(n?1)?P(n)u(n)d?(n) ???1(n?1)z(n?1)?k(n)uH(n)??1(n?1)z(n?1)?P(n)u(n)d?(n)

?w(n?1)?k(n)u(n)w(n?1)?P(n)u(n)d?(n) （3-20） 将k(n)?P(n)u(n)带入得：

????H??w(n)?w(n?1)?k(n)[d(n)?u(n)w(n?1)]?w(n?1)?k(n)??(n)??H （3-21）

其中令?(n)?d(n)?u(n)w(n?1)?d(n)?w(n?1)u(n),其代表先验估计误差，

w(n?1)u(n)代表了n-1时抽头权值向量最小二乘估计旧值的期望响应d(n)的估值。

?HT???H下图3-1很好的表示这RLS算法的这一过程。

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输入向量u(n)w(n?1)u(n) 横向自适应滤波器?H输出w(n?1) 误差ξ(n)自适应权值控制机制+?∑-期望响应d(n)

图3-1 RLS算法框图

上面的几个式子就组成了完整的RLS算法,式（3-21）表示整个滤波器的滤波过程，可以根据这个式子对横向滤波器计算先验估计误差?(n)，可以根据此算法的自适应过程在过去值的基础上来增加一个量来递推抽头权向量，此时这个量和先验估计误差?(n)复共轭与时变的增益向量k(n)的乘积相等。其中，RLS算法的一个重要特性是：在每一次迭代中相关矩阵?(n)的逆矩阵是简单的标向量相除的值。图3-2给出了整个RLS算法的信号流图。

d*(n)+∑ξ*(n)K(n)增益ξ*(n)k(n)∑?1H? ( n ? 1 )uw(n) z I w (n)?

y*(n) -单位负反馈

图3-2 RLS算法信号流图

下面简单的对RLS算法的整个过程做一个整理：

1、首先就是对所有的初始只进行初始化：令w(0)?0，P(0)???1I，其中?是表示一个常数，当信噪比高时其值取较小的正常数，相反，当信噪比较高时，其中则取对较大的正常数。

2、然后取得每个时刻时的d(n)和u(n)

3、之后在每个时刻都更新增益矢量，?(n)是一个中间量，用来计算k(n)

??(n)?P(n?1)u(n)

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