高中数学第三章基本初等函数对数与对数函数指数函数与对数函数的关系课堂导学案新人教B版必修

3.2.3 指数函数与对数函数的关系

课堂导学

三点剖析

一、求函数的反函数问题

【例1】求下列函数的反函数并求出它们的定义域.

2(1)y=1-x(-1≤x≤0);

(2)y=x-4x+7(x≤2).

222

解析：(1)∵y=1-x,∴x=1-y.

2

又-1≤x≤0,

222

∴0≤x≤1,0≤1-x≤1,0≤1-x≤1,即0≤y≤1.

∴x=-1-y2(0≤y≤1).

2∴所求反函数是y=-1-x(0≤x≤1).

(2)∵y=(x-2)+3,x≤2, ∴y≥3,x-2≤0.

∴x-2=-y-3,x=-y-3+2(y≥3). ∴所求反函数是y=-x-3+2(x≥3).

温馨提示

(1)根据反函数的定义,反函数存在的条件就是使自变量x在定义域内有唯一解的条件.因此,在解x时,就要注意这个条件是否会得到满足,从而判定函数是否存在反函数,并进而求出y的取值范围,即反函数的定义域.

(2)在交换x、y时,要将y的限制条件换成x的限制条件,并由此得到反函数的定义域. (3)可以通过求原函数值域的方法,来求出反函数的定义域. 二、指数函数与对数函数的图象关系

x

【例2】已知a>0,且a≠1,函数y=a与y=loga(-x)的图象只能是下图中的( )

2

思路分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数a对图象的影响.

x

解法一:首先,曲线y=a只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A、C.

x

其次,从单调性着眼,y=a与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.∴应选B.

x

解法二:若0

x

若a>1,则曲线y=a上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件.

x

解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=a互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定B. 答案：B 温馨提示

(1)函数图象是一个重要问题,一定要掌握好所学过的各类函数的图象,才能解决各类变化了的问题.

x

(2)y=a与y=logax为互为反函数关系,其图象关于y=x对称. 三、指数函数与对数函数性质的综合运用 【例3】设函数f(x)是函数g(x)=

12

的反函数,则f(4-x)的单调递增区间为( ) x22

A.［0,+∞) B.(-∞,0］ C.［0,2) D.(-2,0］

思路分析：f(x)=log1x,f(4-x)=log1(4-x),利用复合函数的单调性求单调区间.

222

解：f(x)=log1x,f(4-x)=log1(4-x),它是由函数log1u和u=4-x(-2

22

2

2

2

22

2当-2

(1)研究函数的单调性要用好单调函数的定义,有时数形结合方便. (2)熟练掌握指数函数与对数函数的单调性. 各个击破 类题演练1

求下列函数的反函数:

x

(1)y=7;(2)y=log8x;(3)f(x)=lnx.

x

解析：(1)∵y=7,x∈R,把y作为自变量,x作为y的函数,则x=log7y,y>0,通常自变量用x表示,函数用y表示,则y=log7x,x>0.

x

∴y=7的反函数是y=log7x(x>0).

yx

(2)∵y=log8x,∴8=x.∴y=8.

∴y=log8x的反函数是y=8(x∈R). (3)设y=f(x)=lnx,

yx

∴x=e.∴y=e.

-1x

∴f(x)=lnx的反函数是f(x)=e(x∈R). 变式提升1

x

ex?e?x求函数y=x的反函数. ?xe?ee2x?1ex?e?x解析：由y=x得y=2x.

e?1e?e?x∴ye+y=e-1. ∴e=

2x2x

2x

1?y1?y2x

.∵e>0,∴>0.∴-1

ex?e?x11?x∴函数y=x的反函数为y=ln(-1

-x

当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a与y=logax的图象是( )

解析：∵a>1,∴0<∴y=a=(

-x

1<1. a1x

)是减函数. a∴选A或D.而y=logax是增函数, ∴选A或B. ∴选A. 答案：A

变式提升

x

已知f(x)=a,g(x)=logax(a>0,a≠1),若f(3)·g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )

解析：∵f(3)·g(3)<0,∴a·loga3<0. 又∵a>0,∴loga3<0.∴0

∴f(x)与g(x)均为减函数.应选C. 答案：C 类题演练3

x

函数f(x)=a+loga(x+1)在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( ) A.

3

11 B. C.2 D.4 42x

解析：∵y=a与y=logax的单调性相同,

∴f(x)的最大值为f(1)或f(0),最小值为f(0)或f(1). 从而f(1)+f(0)=a,∴loga2+1=0.∴a=

1. 2答案：B 变式提升3

x-m-1

定义在区间［2,4］上的函数f(x)=3(m是常数)的图象过点(2,1),则函数F(x)=［f(x)］2-12

-f(x)的值域为( )

A.［2,5］ B.［1,+∞) C.［2,10］ D.［2,13］

2-mx-2

解析：由条件可知,3=1,∴m=2.∴f(x)=3. -1

∴f(x)=log3x+2(1≤x≤9).

22

∴F(x)=(log3x+2)-(log3x+2)

2

=log3x+2log3x+2

2

=(log3x+1)+1(1≤x≤3).故当x=1时,F(x)min=2; 当x=3时,F(x)max=5.

∴F(x)的值域为［2,5］. 答案：A