【中考真题】2019年四川省乐山市中考数学试卷(Word解析版)

得到k=3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，根据切线长定理即可得到结论．

本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握切线长定理是解题的关键．

24.【答案】（1）证明：如图，连结OB，则OP=OB，∴∠OBP=∠OPB=∠CPA，

AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

而OA⊥l，即∠OAC=90°， ∴∠ACB+∠CPA=90°， 即∠ABP+∠OBP=90°， ∴∠ABO=90°， OB⊥AB，

故AB是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知：∠ABO=90°， 而OA=5，OB=OP=3， 由勾股定理，得：AB=4，

过O作OD⊥PB于D，则PD=DB， ∵∠OPD=∠CPA，∠ODP=∠CAP=90°， ∴△ODP∽△CAP， ∴????=????，

又∵AC=AB=4，AP=OA-OP=2， ∴????=√????2+????2=2√5， ∴????=

?????????????

????

????

=5√5，

6

3

∴????=2????=5√5． 【解析】

（1）连接OB，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由OP=OB得∠OPB=∠OBP，由OA⊥l得∠OAC=90°，则∠ACB+∠APC=90°，而∠APC=∠OPB=∠OBP，所以，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理得到直线AB是∠OBP+∠ABC=90°⊙O的切线；

（2）根据勾股定理求得AB=4，PC=2过证得△ODP∽△CAP，得到

，过O作OD⊥PB于D，则PD=DB，通，求得PD，即可求得PB．

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本题考查了切线的判定和性质，勾股定理的应用研究三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 25.【答案】（1）证明：∵G是△ABC重心，

∴????=2， 又∵EF∥BC，

∴????=????=2，????=????=2， 则????+????=2+2=1；

（2）解：（1）中结论成立，理由如下：

如图2，过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M， 则△BME∽△ANE，△CMF∽△ANF，

????????????

????

1

1

????

????

1

????

????

1

????

1

=

????

，=????， ????????

????

????

????????

∴????+????=

????+????????

????

+????=????

????

，

又∵BM+CM=BM+CD+DM，

而D是BC的中点，即BD=CD，

∴BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM， ∴????+????=

????????

????

2????????

，

又∵????=????=2， ∴????+????=2×2=1，

故结论成立；

（3）解：（1）中结论不成立，理由如下： 当F点与C点重合时，E为AB中点，BE=AE， 点F在AC的延长线上时，BE＞AE， ∴????＞1，则????+????＞1，

同理：当点E在AB的延长线上时，????+????＞1， ∴结论不成立． 【解析】

????

????

????

????

????

????

????

1

????1

（1）根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可；

（2）过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，得出△BME∽△ANE，△CMF∽△ANF，得出比例式解答即可；

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（3）分两种情况：当F点与C点重合时，E为AB中点，BE=AE；点F在AC的延长线上时，BE＞AE，得出延长线上时，

，则

，同理：当点E在AB的

，即可得出结论．

此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．

26.【答案】解：

（1）根据题意得：A（-2，0），B（6，0），

在Rt△AOC中，∵??????∠??????=????=2，且OA=2，得CO=3，∴C（0，3），将C点坐标代入y=a（x+2）（x-6）得：??=?4， 抛物线解析式为：??=?4(??+2)(???6)； 整理得：y=-4??2+??+3

故抛物线解析式为：得：y=-4??2+??+3；

1

1

1

1

????

3

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（2）

①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M（2，4），设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），

则PC2=22+（m-3）2，PQ2=m2+（n-2）2，CQ2=32+n2，∵PQ⊥PC，∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2，

22+m2+=32+n2，??=2(??2?3??+4)=2(???2)2+（0≤m≤4）即22+（m-3）（n-2）整理得：，8

1137

∴当??=2时，n取得最小值为8；当m=4时，n取得最大值为4， 所以，8≤??≤4； ②

7

37

由①知：当n取最大值4时，m=4，

∴P（2，4），Q（4，0），

则????=√5，????=2√5，CQ=5， 设点P到线段CQ距离为h， 由??△??????=2??????=2?????????， 得：?=

③由②可知：当n取最大值4时，Q（4，0），∴线段CQ的解析式为：??=?4??+3，

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3

?????????????1

1

=2，故点P到线段CQ距离为2；