第一章概率论习题解答附件

教 案 概率论与数理统计

(Probability Theory and Mathematical Statistics)

Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用A1、A2、

，试用A1、A2、A3表示以下各A3分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”

事件：

（1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。

Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 A1A2A3。

（2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 A1A2A+1A2A3+A1A2A3. 3A（3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 A1A2A3.

（4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 A1?A2?A3 或 A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+ A1A2A3.

Exercise 1.2 设事件A,B的概率分别为别求P(BA)的值：

（１）A与B互斥； （２）A?B；

（３）P(AB)?．

Solution 由性质（5），P(BA)=P(B)?P(AB).

（1） 因为A与B互斥，所以AB??，P(BA)=P(B)?P(AB)=P(B)= （2） 因为A?B；所以P(BA)=P(B)?P(AB)=P(B)?P(A)=

0

11,32 .在下列三种情况下分

1812111?? 236（3） P(BA)=P(B)?P(AB)=

113?? 288Exercise 1.3 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。

Solution 从8个球中取出两个，不同的取法有C82种。若以A表示事件{取出的两球是黑球}，那么使事件A发生的取法为C52种，从而

P(A)?C52/C82=5/14

Exercise 1.4 在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。

5Solution 从100个产品中任意抽取5个产品，共有C100种抽取方法，

14事件A={有1个次品，4个正品}的取法共有C3C97种取法，故得事件A的概率为

14C3C97P(A)??0.138 5C100Exercise 1.5 将N个球随机地放入n个盒子中(n?N)，求： （１）每个盒子最多有一个球的概率；

（２）某指定的盒子中恰有m（m?N）个球的概率。 Solution 这显然也是等可能问题。

先求N个球随机地放入n个盒子的方法总数。因为每个球都可以落入n个盒子中的任何一个，有n种不同的放法，所以N个球放入n个盒子共有n?n????n?nN 种不同的放法。 ????N（1）事件A={每个盒子最多有一个球}的放法。第一个球可以放进n个盒子之一，有n种放法；第二个球只能放进余下的n?1个盒子之一，有n?1种放法；．．．第N个球只能放进余下的n?N?1个盒子之一，有n?N?1种放法；所以共有n(n?1)?(n?N?1)种不同的放法。故得事件A的概率为

P(A)?n(n?1)?(n?N?1) Nn（2）事件B={某指定的盒子中恰有m个球}的放法。先从N个球中

m任选m个分配到指定的某个盒子中，共有CN种选法；再将剩下的N?m个球任意分配到剩下的n?1个盒子中，共有(n?1)N?m种放法。所以，得事件B1

的概率为

mCN(n?1)N?mP(B)?nN

Exercise 1.6 在１~９的整数中可重复的随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率：

（１）６个数完全不同； （２）６个数不含奇数；

（３）６个数中５恰好出现4次。

Solution 从9个数中允许重复的取6个数进行排列，共有96种排列方法。

（1）事件A={６个数完全不同}的取法有9?8?7?6?5?4种取法，故

P(A)?9?8?7?6?5?4?0.11

96（2）事件B={６个数不含奇数}的取法。因为6个数只能在2，4，6，8四个数中选，每次有4种取法，所以有46取法。故

46P(B)?69

（3）事件C={６个数中５恰好出现4次}的取法。因为6个数中５恰好出现4次可以是6次中的任意4次，出现的方式有C64种，剩下的两种只能在1，2，3，4，6，7，8，9中任取，共有82种取法。故

C6482P(C)?69

Exercise 1.7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（０，４）上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。

Solution 由于陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等，且接触点可能有无穷多个，故

1区间[0.5,1]的长度1P(A)??2?.

区间[0，4]的长度48Exercise 1.8 甲乙两人相约8?12点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。

Y分别表示甲、Solution 以X，乙二人到达的时刻，那末 8?X?12 ，

8?Y?12 ；若以(X,Y)表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这

2

平面上的边长为4的一个正方形：8?X?12 ，8?Y?12 内所有点表示出来。二人能会面的充要条件是 X?Y?12（图中阴影部分）；所以所求的概率为：

11216?2[（4?）]阴影部分的面积1522. P???正方形ABCD的面积1664Exercise1.9 设某种动物有出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁

以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活25岁以上的概率？

Solution 设事件A={能活20岁以上}；事件B={能活25岁以上}。按题意，P(A)?0.8，由于B?A，因此P(AB)?P(B)?0.4.由条件概率定义

P(B|A)?P(AB)0.4??0.5 P(A)0.8Exercise1.10 在一批由90件正品，３件次品组成的产品中, 不放

回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率。

Solution 设事件A={第一件取正品}；事件B={第二件取次品}。按题意，P(A)=

903，P(B|A)=.由乘法公式 9392P(AB)?P(A)P(B|A)?903??0.0315 9392Exercise1.11 七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？

Solution 设Ai={第i人抓到参观票}(i?1,2)，于是

P(A1)?161,P(A1)?,P(A2|A1)?0,P(A2|A1)? 776611??. 767由全概率公式 P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?0?从这道题，我们可以看到，第一个人和第二个人抓到参观票的概率一样；事实上，每个人抓到的概率都一样。这就是“抓阄不分先后原理”。

Exercise 1.12 设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？

Solution 以A1、A2、A3表示诸事件“取得的这箱产品是甲、乙、丙厂生产”；以B表示事件“取得的产品为正品”，于是：

3

111,,，101520