高考冲刺重点突破1-三角形的四心的应用

三角形的四心的应用：

内容 类型 几何定义 重心 三边中线交点 重心到顶点与到对边中点距离之比为2：1 外心 三边中垂线交点 到三顶点距离相等 钝三角外心在三角形外 直三角外心在斜边中点 锐三角外心在三角形内 内心 三内角平分线交点 到三边距离相等 双曲线焦点三角形的内切圆与x轴相应双曲线的相应顶点 垂心 三边高线交点 垂心分每条高线的两部分乘积相等 几 何 性 质 重心与三顶点组成三角形面积相等 重心到三边距离与三边长成反比 重心到三顶点的距离的平方和最小 ?x1?x2?x3y1?y2?y3? ,??33??4S??r外?abc OA?OB?OCS??1?a?b?c??r内 2 ????????????????????????OA?OB?OB?OC=OC?OA GA?GB?GC?0 向量 表示 ?????BABC??ABAC?BI??????且AI?????BABC??ABAC??????OA?OB??AB??OB?OC??BC?0 aPA?bPB?cPC?PI a?b?c ????????????????例1、已知P是?ABC所在平面内任意一点，且PA?PB?PC?3PG，则G 是?ABC的 （）

A．内心 B. 外心 C.重心 D.垂心

????????????????ABAC例2、已知O是平面内的一个点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足：OP?OA??(?????????),??[0,??)，

ABAC则点P的轨迹一定过?ABC的 （ ）

A．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心

例3、已知?ABC的三边长分别为a,b,c，O是平面内一点，若aOA?bOB?cOC?0，则O是?ABC的 （ ） A．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心

????????????????例4、?ABC的外接圆的圆心为O，两边边上的高的交点为H ，若OH?m(OA?OB?OC)，则实数m?.

例5、已知点G是?ABC的重心，AG??AB??AC (?，??R)，那么????_____；若?A?120?，AB?AC??2，则AG的最小值是__________.

例6、已知△ABC中，过重心G的直线交边

于，交边于Q，设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，

ACABP????????????????????S1????????????????AP?pPB，AQ?qQC，则S2的取值范围是

例7、已知?ABC的外接圆是单位圆O，且3OA?4OB?5OC?0，则OC?AB?________ →→→→→

例8、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，OA＋2AB＋2AC＝0，则CA在CB方向上的投影为( ) A．4 B.15C.7D．1

例9、已知△ABC的顶点B??1,0?,C?1,0?，设△ABC的重心与内心分别为G,I，且GI//BC，则顶点的轨迹方程为____

例10、已知AB?2,AC?1,?BAC?120，O为△ABC的内心，则AO?AC的值为．

→→→→→

例11、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，OA＋2AB＋2AC＝0，则CA在CB方向上的投影为( ) A．4 B.15C.7D．1

0????????????????例12、已知???C的重心为?，过?任做一直线分别交边??，?C于?，Q两点，设???m??，?Q?n?C，

则4m?9n的最小值是．

AB?2a,AC?例13、已知O为?ABC的外心，

2,?BAC?1200,若AO?xAB?yAC，则3x?6y的最小值为_____ a的形状为 ( )

BCG,O分别为?ABC的重心和外心，例14、在?ABC中，BC?5，且GO?BC?5，则?AA 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 上述三种情况都有可能

???ABAC???5??例15、在△ABC中，?，AB?AC?3,A?,?，则AB?AC的最大值为____ ??AC?BA?0???36??ABAC?????→→→

例16、已知点G是△ABC的重心，A＝120°，AB·AC＝－2，则|AG|的最小值是( ) A.3223

B.C.D. 3234

例17、在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )

84

A. 2 B. 1C. D.

33

例18、已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．

x2y2

例19、椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1点，若△ABF2的内切圆的周长为π，A，B两点的坐

2516标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为( ) A.

510205B.C.D. 3333

例20、抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为 ( ) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0

三角形的四心的应用：

内容 类型 几何定义 重心 三边中线交点 重心到顶点与到对边中点距离之比为2：1 外心 三边中垂线交点 到三顶点距离相等 钝三角外心在三角形外 直三角外心在斜边中点 锐三角外心在三角形内 内心 三内角平分线交点 到三边距离相等 双曲线焦点三角形的内切圆与x轴相应双曲线的相应顶点 垂心 三边高线交点 垂心分每条高线的两部分乘积相等 几 何 性 质 重心与三顶点组成三角形面积相等 重心到三边距离与三边长成反比 重心到三顶点的距离的平方和最小 ?x1?x2?x3y1?y2?y3? ,??33??4S??r外?abc OA?OB?OCS??1?a?b?c??r内 2 ????????????????????????OA?OB?OB?OC=OC?OA GA?GB?GC?0 向量 表示 ?????BABC??ABAC?BI??????且AI?????BABC??ABAC??????OA?OB??AB??OB?OC??BC?0 aPA?bPB?cPC?PI a?b?c ????????????????例1、已知P是?ABC所在平面内任意一点，且PA?PB?PC?3PG，则G 是?ABC的 （C）

A．内心 B. 外心 C.重心 D.垂心

????????????????ABAC例2、已知O是平面内的一个点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足：OP?OA??(?????????),??[0,??)，

ABAC则点P的轨迹一定过?ABC的 （ A ）

A．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心

例3、已知?ABC的三边长分别为a,b,c，O是平面内一点，若aOA?bOB?cOC?0，则O是?ABC的 （ A ） A．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心

????????????????例4、?ABC的外接圆的圆心为O，两边边上的高的交点为H ，若OH?m(OA?OB?OC)，则实数m?. 1

例5、已知点G是?ABC的重心，AG??AB??AC (?，??R)，那么????_____；若?A?120?，AB?AC??2，则AG的最小值是__________.

????????????????????22 33例6、已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，

?????????????????41?SAP?pPB，AQ?qQC，则1的取值范围是.?,?S2?92?

例7、已知?ABC的外接圆是单位圆O，且3OA?4OB?5OC?0，则OC?AB?________ ?1 5分析：3OA?4OB?5OC?0?25OC2??3OA?4OB?2?OA?OB?0，OC?AB??13OA?4OBOB?OA?1?1?OA?OB

5????5??→→→→→

例8、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，OA＋2AB＋2AC＝0，则CA在CB方向上的投影为( C ) A．4 B.15C.7D．1

分析：设BC中点为D，AO?4AD，若△ABC的外接圆的圆心为O，则OA?BC

例9、已知△ABC的顶点B??1,0?,C?1,0?，设△ABC的重心与内心分别为G,I，且GI//BC，则顶点的轨迹方程为_________

x2y211??1?x?0? 分析：?AB?BC?AC??r??BC?3r2243例10、已知AB?2,AC?1,?BAC?120，O为△ABC的内心，则AO?AC的值为．

0

→→→→→

例11、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，OA＋2AB＋2AC＝0，则CA在CB方向上的投影为( C ) A．4 B.15C.7D．1

分析：设BC中点为D，AO?4AD，若△ABC的外接圆的圆心为O，则OA?BC

????????????????例12、已知???C的重心为?，过?任做一直线分别交边??，?C于?，Q两点，设???m??，?Q?n?C，

则4m?9n的最小值是．

25 32,?BAC?1200,若AO?xAB?yAC，则3x?6y的最小值为a例13、已知O为?ABC的外心，AB?2a,AC?______6?22 分析1：坐标法

分析2：基底法 ?OA?xOB?OA?yOC?OA，平方，判别式法

????BC的形状为 ( B ) 例14、在?ABC中，BC?5，G,O分别为?ABC的重心和外心，且GO?BC?5，则?AA 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 上述三种情况都有可能

分析1、坐标法

分析2、基底法GO?BC?GD?DO?BC?GD?BC???1AB?ACAB?AC?5?b2?c2?30（D为BC中点） 6????a2?c2?b225?30b?c,b?a，由于cosB???0

2ac2ac???ABAC?3??5??例15、在△ABC中，?，，则的最大值为____ AB?ACAB?AC?3,A?,??AC?BA?0???2?36??ABAC?????22分析：AB?AC?m,2m?2mcosA?9，AB?AC?9cosA

2?2cosA→→→

例16、已知点G是△ABC的重心，A＝120°，AB·AC＝－2，则|AG|的最小值是( C ) A.3223

B.C.D. 3234

例17、在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( D )

84

A. 2 B. 1C. D.

33

例18、已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．

14

分析1、利用重心进行相关点代入法得(x＋)2＋y2＝(y≠0)．

39

分析2、过P作BC的平分线，必得AB的三等分点M?,0?，必有P在以AM为直径的圆上.

x2y2

例19、椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1点，若△ABF2的内切圆的周长为π，A，B两点的坐

2516标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为( D ) A.

510205B.C.D. 3333

?1??3?例20、抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为 ( C ) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0

(2010·湖北)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→

成立，则m＝( A．2 B．3 C．4 D．5

分析：∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AB→＋AC→＝3 AM→

.∴m＝3.

)．